De Rham kohomológia

A De Rham - kohomológia egy kohemológiaelmélet , amely differenciális formákon alapul, és a sima és algebrai változatok elméleteiben alkalmazzák .

Nevét de Rham svájci matematikusról kapta . Egy sokaság -dimenziós de Rham-kohomológia csoportját általában jelölik . $k$ $M$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$

Sima elosztók

Definíciók

A cochain komplexen keresztül

A de Rham -komplexus külső differenciálformák kochain-komplexuma egy sima elosztón , külső differenciálművel differenciálműként. $M$ $d\,^{k}$

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{ \to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

Itt van a sima függvények tere -on , az 1-es alakok tere , vagyis a -formák tere . Jegyezze meg, hogy . - ennek a cochain komplexnek a dimenziós kohomológiai csoportja a pontosság mértéke a -edik kifejezésben, és a következőképpen definiálható: $\Omega ^{0}(M)$ $M$ $\Omega ^{1}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ $k$ $d^{k+1}d^{k}=0$ $k$ $H^{k}$ $k$

H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\operátornév {Ker} d^{k}/\operátornév {Im} d^{k-1} .

Az űrlapot zártnak nevezzük , ha ebben az esetben . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $d^{k}\alpha =0$ ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ker} d^{k))$
Egy formát akkor nevezünk pontosnak , ha egyeseknél ez az . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha =d^{k-1}\gamma$ ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{k-1))$ $\alpha \in \operátornév {Im} d^{k-1}$

Vegye figyelembe, hogy minden pontos űrlap zárva van.

Az űrlapok ekvivalenciaosztályaként

Geometriailag a de Rham-kohomológia gondolata az, hogy a zárt formákat egy sokaságon osztályozza: két zárt formát , és akkor mondjuk kohomológiainak , ha pontos alakban különböznek egymástól, azaz különbségük egy egzakt forma. Ez a definíció egy ekvivalencia relációt generál a zárt formák halmazán . $\alpha$ $\beta$ $\Omega ^{k}(M)$ $\alpha -\beta =d\gamma$ $\Omega ^{k}(M)$

Egy forma kohomológiai osztálya az összes olyan zárt alak halmaza, amely egy egzakt alakban különbözik, vagyis a forma alakhalmaza . $[\alpha]$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha +d\gamma$

$k$ A -dimenziós de Rham-kohomológia csoport az összes zárt forma hányadoscsoportja az egzakt formák alcsoportjával. $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$

Vegye figyelembe, hogy a csatlakoztatott alkatrészekkel ellátott elosztó esetén $M$ $N$

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

Valójában a 0 fokú alakok skaláris függvények. A zártság azt jelenti, hogy a függvényeknek nulla deriváltjuk van, vagyis az elosztó minden kapcsolt komponensén állandóak.

De Rham tétele

Stokes tétele a de Rham-kohomológia és a lánckomplex homológia kettősségének kifejezése . Ugyanis a tétel kulcskövetkezménye az, hogy „a zárt forma integráljai homológ láncokon egyenlők”: if zárt -forma, és és homológ -láncok (vagyis egy -dimenziós lánc határa ) , akkor $\omega$ $k$ $M$ $N$ $k$ $MN$ $(k+1)$ $W$

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

mivel különbségük egy integrál

\int \limits _{{\partial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Így a differenciális formák és láncok párosítása az integráción keresztül meghatározza a homomorfizmust a de Rham-kohomológiától a szinguláris kohomológiai csoportig . De Rham tétele , amelyet Georges de Rham 1931-ben bizonyított, kimondja, hogy sima sokaságon ez a leképezés izomorfizmus : $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

A külső szorzat a csoportok közvetlen összegét gyűrű szerkezettel ruházza fel . A szinguláris kohomológiában hasonló szerkezetet ad a -szorzás . De Rham tétele azt is kimondja, hogy ez a két kohomológiai gyűrű izomorf, mint osztályozott gyűrű . $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ $\mosoly$

Algebrai fajták

Definíció

A sima esethez hasonlóan, egy mezőn belül minden algebrai változat szabályos differenciálformák komplexéhez kapcsolódik . $x$ $k$

Egy fajta de Rham-kohomológiai csoportjait kohomológiai csoportoknak nevezzük . $x$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/k)$

A de Rham-kohomológia speciális esetei

Ha egy sima és teljes sokaság , és a karakterisztikája egy mező , akkor a de Rham- kohomológia egy Weil-kohomológia . $x$ ${\mathrm {char}}\,k=0$
Ha a sokaság egy sima affin sokaság , és a mező az, akkor de Rham tételének a következő analógja igaz : $x$ $k=\mathbb {C}$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{an}},\;{\mathbb {C}}),$

ahol az algebrai változatnak megfelelő komplex analitikai változat .

X_{{an}}

x

Például, ha egy algebrai hiperfelület komplementere a pontban , akkor a kohomológia kiszámítható a racionális differenciálformák segítségével ezen a hiperfelületen lévő pólusokkal. $x$ $P^{n}(\mathbb {C} )$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ $P^{n}(\mathbb {C} )$

Relative de Rham cohomology

Bármely morfizmushoz meghatározható az úgynevezett relatív de Rham komplex $f\kettőspont X\S-re$

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

ami a relatív de Rham-kohomológiához vezet . $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$

Ha a változat a gyűrű spektruma , és akkor a relatív de Rham komplex egybeesik -vel . $x$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ $S={\mathrm {Spec}}\,B$ $\Lambda \Omega _{{A/B}}^{1}$

A kévék komplexének kohomológiáját a relatív de Rham-kohomológia köveinek nevezzük . Ha megfelelő morfizmus, akkor ezek a tekercsek koherensek a -n . ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ $\sum _{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega _{{X/S}}^{p}$ $S$ $f$ $S$

Irodalom

Bott, R., Tu, L. V. Differenciálformák az algebrai topológiában. — M .: Platon, 1997. — 336 p. - ISBN 5-80100-280-4 . .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria: homológiaelmélet módszerei. — M .: Nauka, 1984. — 343 p.
de Ram, J. Differenciálható fajták = Varietes differentiables. — M.: KomKniga, 2006. — 250 p. — ISBN 5-484-00341-5 . .