Kovariáns vektor

A lineáris algebrában egy vektortéren lévő kovariáns vektor megegyezik az adott téren lévő lineáris alakkal (lineáris funkcionális).

A differenciálgeometriában a differenciálható sokaságon lévő kovariáns vektor a kotangens köteg sima szakasza. Ezzel egyenértékűen az M sokaságon lévő kovariáns vektor az M érintőköteg teljes terének sima leképezése R - re , amelynek az egyes rétegekre vonatkozó korlátozása egy lineáris függvény az érintőtéren . Így lesz írva:

\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R} }

ahol α x lineáris.

Ko- és kontravariáns vektorok terekben (sokatóriumokon) nem degenerált metrikával

Továbbá feltételezzük, hogy azon a téren, amelyben a leírt objektumok léteznek (vagy azon a sokaságon, amelynek érintőterében léteznek), egy nem degenerált metrika van megadva.

A vektorok és a kovektorok közötti megfelelés

Ha egy nem degenerált metrikus tenzort definiálunk, akkor formálisan a "kovariáns vektor" és az "kontravariáns vektor" ugyanazon geometriai objektum - egy közönséges vektor - egyszerűen különböző reprezentációinak (rekordok számkészlet formájában) tekinthetők . Vagyis ugyanaz a vektor felírható kovariánsként (vagyis kovariáns koordináták halmazán keresztül) vagy kontravariánsként (vagyis kontravariáns koordináták halmazán keresztül). Az egyik reprezentációból a másikba való átalakítás egyszerűen egy metrikus tenzorral végzett konvolúcióval történik :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(itt és alább ismételt index feletti összegzést értünk, Einstein szabálya szerint).

A vektorok és a kovektorok közötti különbség

Értelemszerűen a vektorokat és a kovektorokat az különbözteti meg, hogy melyik reprezentáció természetes számukra. Tehát a kovektorok esetében - például gradiens esetén - a kettős bázison való terjeszkedés természetes, mivel természetes konvolúciójuk (skaláris szorzatuk) egy közönséges vektorral (például eltolás) metrika részvétele nélkül történik, egyszerűen úgy, hogy a szorzott összetevők összegzése. A közönséges vektorok esetében (amelyekhez a térbeli koordinátákban való elmozdulás is hozzátartozik ) a főbázis bővülése természetes, mivel ezek a metrika közreműködésével konvolálódnak más közönséges vektorokkal, például a térbeli koordináták eltolási vektorával. Például egy skalárt kapunk ( teljes differenciálként ) egy kovariáns vektor metrikus mentes összehúzásával , amely a skalármezőre ható gradiens 1-forma természetes reprezentációja, egy kontravariáns vektorral , amely természetes reprezentáció. a szokásos eltolási vektor koordinátáiban; ugyanakkor önmagával összeomlik a metrika segítségével: , ami teljes összhangban van azzal, hogy kontravariáns. $dx^{i}$ $\ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}$ $\ \partial _{i}\varphi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$

Ha közönséges fizikai térről beszélünk, egy vektor kovarianciájának/kontravarianciájának egyszerű jele az, hogy a természetes reprezentációja térbeli eltolási koordináták halmazával konvolválódik , amely egy példa egy kontravariáns vektorra. Azok, amelyek egyszerű összegzéssel konvolválnak, metrika nélkül, kovariáns vektorok (1-formák); egyébként (a konvolúcióhoz egy metrika részvétele szükséges) ezek kontravariáns vektorok. Ha a tér és a koordináták teljesen absztraktak, és a fő- és a kettős bázist nem lehet megkülönböztetni, kivéve egy tetszőleges feltételes választással, akkor a kovariáns és kontravariáns vektorok értelmes megkülönböztetése eltűnik, vagy szintén tisztán feltételessé válik. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Azt a kérdést, hogy pontosan az a reprezentáció, amelyben egy tárgyat látunk, természetes-e számára, egy kicsit magasabban fogjuk érinteni. Egy közönséges vektor esetében a természetes egy kontravariáns ábrázolás, egy kovektornál pedig kovariáns.

Lásd még

Differenciálforma

Lásd még

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .