Kovariancia és kontravariancia (matematika)

Kovariancia és kontravariancia – a matematikában ( lineáris algebra , differenciálgeometria , tenzoranalízis ) és a fizikában használt fogalmak, amelyek azt jellemzik, hogy a tenzorok ( skalárok , vektorok , operátorok , bilineáris formák stb.) hogyan változnak bázisok transzformációja során a megfelelő terekben vagy sokaságokban . A kontravariánsokat "közönséges" komponenseknek nevezzük, amelyek a tér bázisának megváltoztatásakor a bázis transzformációjával fordított transzformáció segítségével változnak. Kovariáns - azok, amelyek ugyanúgy változnak, mint az alap.

A tenzor kovariáns és kontravariáns koordinátái közötti kapcsolat csak olyan terekben lehetséges, ahol adott a metrikus tenzor (nem tévesztendő össze a metrikus térrel ).

A kovariancia és kontravariancia kifejezéseket Sylvester vezette be 1853 -ban az invariánsok algebrai elméletének kutatása céljából.

Kovariancia és kontravariancia vektorterekben

Kontravariáns és kovariáns vektorok

Legyen valamilyen véges dimenziós vektortér , és adott benne valamilyen bázis . Egy tetszőleges vektor bázisvektorok lineáris kombinációjaként ábrázolható: . A jelölés egyszerűsítése érdekében (és az alábbiakban tisztázandó okokból) a koordinátákat felső indexszel jelöljük, és elfogadjuk az Einstein-szabályt: ha ugyanazok a többszintű indexek vesznek részt a kifejezésben, akkor az összegzést feltételezzük felettük. Így írhatjuk: . Állítsunk be egy új alapot a transzformációs mátrix segítségével . Ugyanezen okokból bevezetjük az alsó és felső indexeket (hogy ne írjunk összegző jeleket) - . Ezután (a j index feletti összegzést feltételezzük). Az inverz mátrix jelölésével a következőt írhatjuk: . Ezt a képletet behelyettesítve az x vektor koordinátaábrázolásába, a következőt kapjuk: . Így az új bázisban lévő vektor koordinátái egyenlőnek bizonyulnak , azaz „ellentétesen” (fordítva) transzformálódnak a bázis változásával. Emiatt az ilyen vektorokat kontravariánsnak nevezik , amelyek az alappal ellentétes irányban változnak. A kontravariáns vektorok közönséges vektorok. A koordináta-reprezentációban lévő kontravariáns vektorokat általában "oszlopvektorként" írják. A felső vagy kontravariáns index az ellentétvektorok azonosítására szolgál. $V$ $e_{i},i=1..n$ $x$ $x=\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}e_{i}$ $x=x^{i}e_{i}$ $S$ $S_{i}^{j}$ $e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}$ $T=S^{{-1}}$ $e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}$ $x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}$ $x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}$

A vektorokat számokra leképező összes lineáris funkcionális terét duális térnek nevezzük . Ez is egy vektortér, amelynek mérete megegyezik az alaptérrel. Ezen a téren lehet bázist is meghatározni. Jelöljük a duális tér bázisának elemeit felső indexszel . Ezen a bázison bármely funkcionális ábrázolható koordinátákkal, amelyeket alsó indexekkel jelölünk. Ekkor az Einstein-szabályt alkalmazva a következőt írhatjuk: , azaz bármely lineáris függvény egyszerűen felírható számok halmazaként , mint egy közönséges vektor (kivéve az alsó indexhelyet). $V^*$ $g^{i}$ $f=f_{i}g^{i}$ $f_{i}$

A duális térben úgy választunk ki egy bázist, hogy , azaz ezek a funkcionálisok megtalálják a vektor th koordinátáját (a bázisvektorra való vetítést ). Az ilyen alapot duálisnak nevezzük (a főtér bázisához). A főtér bázisának megváltoztatásakor ezt az állapotot meg kell őrizni, azaz . Így a kettős bázis a fő bázis változásával fordítottan változik. Egy tetszőleges lineáris függvény koordinátái a saját bázisukkal ellentétes módon változnak (mint minden térben), vagyis egy mátrix segítségével . Ezért ugyanúgy fognak változni, mint a fő alap. Ezt a tulajdonságot kovarianciának nevezzük . Magukat a lineáris funkcionálisokat a duális bázis koordinátaábrázolásában kovariáns vektoroknak , vagy röviden kovektoroknak nevezzük . Kívülről egy kovektor szabályos vektornak "néz ki", abban az értelemben, hogy a koordinátáit reprezentáló szabályos számkészlet. A kovektor és a kontravariáns vektor közötti különbség abban rejlik, hogy a bázis megváltoztatásakor a koordinátáit átalakítjuk: a bázishoz hasonlóan transzformálódnak, ellentétben a kontravariáns vektorokkal, amelyek a bázissal ellentétesen alakulnak át. A koordináta formájú kovektorokat "sorvektorként" írjuk. Az alsó vagy kovariáns index a kovektorok azonosítására szolgál . $g^{i}(x)=x^{i}$ $én$ $e_{i}$ $g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)$ $f_{i}$ $T^{{-1}}=S$

Tenzorok kontravarianciája és kovarianciája

A vektorok kontravarianciájáról és kovarianciájáról elmondottak több indexű - tenzoros objektumra is általánosíthatók , amelyek közül speciális esetek a vektorok és kovektorok.

A lineáris funkcionális analógiájára tekintsünk egy olyan függvényt, amely több ( ) térvektort társít egy bizonyos számhoz, amely minden vektorban linearitás tulajdonsággal rendelkezik. Ezek az úgynevezett multilineáris függvények . Megmutatható, hogy az összes -lineáris függvény egy lineáris teret alkot, amelyben be lehet vezetni egy bázist és egy tetszőleges -lineáris függvényt koordináta formában ábrázolni. Az is kimutatható, hogy koordinátáik bázistérbázisként transzformálódnak (ahogyan a kovariáns vektorok is). Ezért az ilyen multilineáris függvényeket szor kovariáns tenzoroknak nevezzük . Alsó indexekkel vannak írva. Például egy kétszeresen kovariáns tenzort a következővel jelölünk . $k$ $V$ $k$ $k$ $k$ $A_{{ij}}$

Hasonlóképpen, nem a főtérben, hanem a duális térben tekinthetünk multilineáris függvényekre , amelyek halmaza szintén egy lineáris teret képez , amely duális -hoz . A kettős bázis koordinátaábrázolásánál ugyanúgy transzformálódnak, mint a tér bázisa , tehát ellentétes a főtér bázisával . Vagyis rendelkeznek a kontravariáns tulajdonsággal, és szorkontravariáns tenzornak nevezik őket . Felsõ indexekkel vannak jelölve. Konkrétan a kétszeresen kontravariáns tenzort a következőképpen írjuk fel . $V^*$ $V^{**}$ $V^*$ $V^*$ $V$ $k$ $A^{{ij}}$

Az általában tekintett terek esetében az úgynevezett kanonikus izomorfizmus és , azaz ezek a terek megkülönböztethetetlennek tekinthetők. Ezért egy 1-szeres kontravariáns tenzor egyenértékűnek tekinthető egy közönséges kontravariáns vektorral. $V$ $V^{**}$

A fenti definíciókat általánosítva, vektorok és kovektorok multilineáris függvényei egyszerre tekinthetők. Ennek megfelelően a bázis megváltoztatásakor egy ilyen függvény koordinátarekordja mind a főbázis transzformációs mátrixának (a multilineáris függvényben részt vevő kovektorok számában), mind az inverzének (a vektorok számában) részvételével transzformációra kerül. a multilineáris függvény). A megfelelő tenzort m-szer kontravariánsnak és k-szer kovariánsnak - nevezzük . Az alsó indexeket a kovariáns komponensekhez, a felső indexeket pedig az ellentétes komponensekhez használjuk. Például egy 1-szeres kontravariáns és 1-szeres kovariáns tenzort jelölünk . Az indexek teljes számát a tenzor rangjának vagy vegyértékének nevezzük . A tenzor komponensei a multilineáris függvény értékei az alapvektorokon. Például, . $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{i}$ $k+m$ $A^i_j = A(e^i, e_j)$

Az ugyanazon többszintű tenzorindexeken végzett összegzési műveletet konvolúciónak nevezzük ezeken az indexeken. Ahogy fentebb említettük, Einstein szabálya szerint az összegző jel kimarad. A tenzorkonvolúció eredményeként egy indexpáron a rangja 2-vel csökken. Például valamely kontravariáns vektor leképezése valamilyen lineáris operátor segítségével tenzorjelölésben így fog kinézni . A lineáris operátorok a típustenzor klasszikus példái . $y^i= A^i_j x^j$ $T_{1}^{1}$

Típustenzor transzformálásakor, a bázis megváltoztatásakor a közvetlen bázistranszformációs mátrixot m-szer, az inverz mátrixot k-szer használjuk. Például egy típusú tenzor a bázis megváltoztatásakor a következőképpen alakul: $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{i}$ $T_{1}^{1}$

$A^{i'}_{j'} = T^q_{j'} S^{i'}_p A^p_q$

Általában meg kell érteni, hogy maga az objektum nem függ az alapban való ábrázolásától. Minden transzformáció ugyanannak az objektumnak (tenzornak) a reprezentációja.

Metrikus tenzor

Ha egy skaláris szorzatot bevezetünk egy lineáris térbe - egy bilineáris alakba (vagy tenzor terminológiában - egy kétszeresen kovariáns tenzorba ), amely szimmetria és nem-degeneráció tulajdonságokkal rendelkezik, akkor az ilyen tereket (véges dimenziós) euklideszinek nevezzük (feltéve hogy a megfelelő másodfokú alak pozitív-definit ) vagy pszeudoeuklideszi (anélkül, hogy korlátozná az előjeles másodfokú alakot). Az ennek a bilineáris alaknak megfelelő tenzort metrikus tenzornak nevezzük . Ennek a tenzornak az összetevői az adott bázisban . Ha ez a bázis ortonormális (ilyen bázis mindig létezik egy (ál)euklideszi térben), akkor a komponensek mátrixa átlós. Az átlón egy euklideszi tér esetében egyek vannak (az identitásmátrix). Ál-euklideszi tér esetén az egységek mellett "mínusz-egységek" is vannak az átlón. Általános esetben azonban előfordulhat, hogy a bázisok nem ortogonálisak, így a metrikus tenzor ábrázolható egy nem átlós mátrixszal is (a „lapos” térben azonban mindig van egy bázistranszformáció, amely átlós formába hozza). . $g$ $g(x, x)$ $g_{{ij}}=g(e_{i},e_{j})$

A metrikus tenzor segítségével a skaláris szorzat felírható így . A belső szorzattal rendelkező terekben a tér és a kettős tér kanonikus izomorfizmusa létezik , vagyis minden vektorhoz kovektor tartozik, és fordítva. Ezt a megfeleltetést pontosan a skalárszorzat, vagy tenzorjelöléssel a metrikus tenzor segítségével hajtjuk végre. Ugyanis írhatunk . Ezt a műveletet az index csökkentésének vagy csökkentésének nevezik . A fordított megfeleltetést a kontravariáns metrikus tenzor segítségével végezzük . Ezt a műveletet index emelésének vagy emelésének nevezik . Könnyen kimutatható, hogy a kovariáns és kontravariáns metrikus tenzorok mátrixai kölcsönösen inverzek, azaz . A skaláris szorzat kifejezhető kontravariáns és kovariáns vektorokban is: . $g(x,y)=g_{{ij}}x^{i}y^{j}$ $V$ $V^*$ $x_{i}=g_{{ij}}x^{j}$ $x^{j}=g^{{ij}}x_{i}$ $g_{{ik}}g^{{kj}}=\delta _{i}^{j}$ $g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^i=x^iy_i=g^{ij}x_iy_j$

Ortonormális bázis esetén az euklideszi térben a metrikus tenzor az azonosságmátrix, tehát a koordinátajelölésben szereplő kovariáns vektor egybeesik az ellentéttel. Ezért ebben az esetben nem szükséges a vektorokat kontravariánsokra és kovariánsokra osztani. Azonban még akkor is, ha az alap nem ortogonális és (vagy) a tér pszeudoeuklideszi, egy ilyen megkülönböztetés fontos. Egy pszeudo-euklideszi térben ortogonális alapon a kovektorok bizonyos koordináták előjelében különböznek a közönséges vektoroktól. A vektorok és kovektorok rendszere ebben az esetben lehetővé teszi, hogy egy vektor hosszának négyzetére egy képletet írjunk az euklideszi tér esetéhez hasonló módon . Az euklideszi (pszeudo-euklideszi) terekben lévő nem ortogonális (ferde szögű) bázisok esetén az ellentétes vektorokat kovariánsokká transzformáló metrikus tenzor nem átlós. Ebben az esetben a vektor hosszát ugyanúgy írjuk fel, mint az euklideszi térben kontravariáns és kovariáns vektorok segítségével. Ezeknek az eseteknek egy közös vonása van - a metrikus tenzornak (adott alapon) ugyanaz a mátrixa a tér minden pontjára (vektorára). $x_ix^i$

A metrikus tenzorral rendelkező terekben a "kovariáns vektor" és az "kontravariáns vektor" valójában ugyanannak a geometriai objektumnak - egy közönséges vektornak vagy kovektornak - különböző reprezentációi (számok halmazaként szereplő rekordok) . Vagyis ugyanaz a vektor felírható kovariánsként (vagyis kovariáns koordináták halmaza) és kontravariánsként (vagyis kontravariáns koordináták halmazaként). Ugyanez mondható el a kovektorról is. Az egyik reprezentációból a másikba való átalakítás egyszerűen egy metrikus tenzorral végzett konvolúcióval történik . A vektorokat és a kovektorokat tartalmilag csak az különbözteti meg, hogy az ábrázolások közül melyik a természetes számukra. Egy közönséges vektor természetes reprezentációja egy kontravariáns reprezentáció. Kovariáns vektor esetén természetes, hogy közönséges vektorokkal konvolválunk metrika nélkül. Kovariáns vektorra példa egy skalárfüggvény gradiense . Konvolúciója egy kontravariáns (közönséges) vektorral egy invariánst ad - a függvény differenciálját . Így ha a tereket közönséges vektoroknak fogadjuk el , akkor a gradiensnek kovektornak kell lennie, hogy ne kelljen a metrikus tenzort használni a hajtogatáshoz. Ugyanakkor maguk a vektorok is megkövetelik a metrikus tenzor használatát, amikor ugyanazokkal a vektorokkal összeomlanak . ${\mathbf {grad}}f({\mathbf {x}})={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f$ $dx^{i}$ $df(x)$ $dx^{i}$ $dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Ha közönséges fizikai térről beszélünk, akkor egy vektor kovariancia-kontravarianciájának egyszerű jele az, ahogyan a természetes reprezentációja térbeli eltolási koordináták halmazával konvolválódik , amely egy példa egy kontravariáns vektorra. Azok, amelyek egyszerű összegzéssel konvolválnak, metrika nélkül, kovariáns vektorok, míg azok, amelyek metrikát tartalmaznak, kontravariáns vektorok. Ha a tér és a koordináták annyira elvont, hogy a fő és a kettős bázis között nem lehet különbséget tenni, csak tetszőleges feltételes választással, akkor a kovariáns és kontravariáns vektorok értelmes megkülönböztetése eltűnik, vagy szintén tisztán feltételessé válik. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Gyakran a kovariáns vektor, különösen a fizikai irodalomban, bármely vektor (vagyis egy vektor vagy egy kovektor, egy érintő vagy kotangens tér vektora) duális bázison történő felosztása. Ekkor tetszőleges objektum kovariáns koordinátáinak halmazáról beszélünk, általában azonban minden objektumtípust megpróbálnak a számára természetes alapba írni, ami megfelel a fő definíciónak.

Általánosítás görbe vonalú alapokra és görbe terekre

Az euklideszi (pszeudo-euklideszi) tér koordinátái görbe vonalúak is lehetnek. A görbe vonalú koordináták klasszikus példája a poláris koordináták az euklideszi síkon. Ebben az esetben a koordinátabázisok csak egy adott pont infinitezimális környezetében tekinthetők lineárisnak. Ezért a kellően közeli pontok négyzetes távolságának kifejezése érvényben marad: . Görbevonalas koordináták esetén a metrikus tenzor pontról pontra változik. Így ez egy tenzormező – a tér minden pontjához valamilyen metrikus tenzor tartozik. $dx^{i}$ $(dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Egy általánosabb helyzet áll fenn a görbült terek – Riemann (ál-Riemann) sokaságok – esetében. Az ívelt tér kétdimenziós felület esetén vizualizálható - valamilyen sima ívelt felület háromdimenziós térben (például gömbfelület). Az ilyen felület belső geometriája (görbe) a görbe tér geometriája. Az ívelt dimenziós tér általános esetben egy magasabb dimenziójú térben tetszőleges (görbült) hiperfelületként fogható fel. A megszámlálható bázisú sima sokaságokra bizonyítást nyert a Whitney-féle beágyazási tétel , amely szerint bármely ilyen méretsokaság egy "lapos" (azaz nem görbült euklideszi vagy pszeudoeuklideszi) dimenziótérbe van ágyazva . $n$ $n$ $2n$

Görbült térben előfordulhat, hogy ortogonális és általában lineáris koordinátabázisok nem léteznek. Általános esetben pontosan a görbe vonalú alapokkal kell foglalkozni. Ebben az esetben a kovariáns és kontravariáns vektorok fenti formalizmusának alkalmazása nemcsak különös jelentőségűvé válik, hanem elkerülhetetlenné is válik.

Általános meghatározások

Görbe vonalú koordináták vagy görbe terek esetén az új koordináták általában véve a régi koordináták nemlineáris függvényei: . A régi koordináták végtelen kicsiny változásai esetén az új koordináták változásai a jelzett függvények Jacobi-féle függvényében határozhatók meg: $x'^{i}=x'^{i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})$ $dx^{j}$

$dx'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

Bármely vektor , amely ugyanúgy transzformálódik, mint , azaz. $v$ $dx^{i}$

$v'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}$

kontravariáns vektornak nevezzük .

A koordináták néhány skaláris függvényéhez vegyük figyelembe annak gradiensét . Más koordinátákra való áttéréskor a következőket kapjuk: $f(x)$ ${\frac {\partial f(x)}{\partial x^{i))}$

${\frac {\partial f(x)}{\partial x'^{i))}={\frac {\partial f(x)}{\partial x^{j))}{\frac {\partial x^{j}}{\részleges x'^{i}}}$

Bármilyen vektor , amely ugyanúgy átalakul, mint egy gradiens, azaz. $u$

$u'_{i}={\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}u_{j}$

kovariáns vektornak nevezzük .

Ennek megfelelően az egyszer kontravariáns és egyszer kovariáns tenzor (típusú tenzor ) egy olyan objektum, amely az alap megváltoztatásakor átalakul az „inverz” transzformáció egyszeri és a „direkt” transzformáció egyszeri alkalmazásával . $m$ $k$ $T_{k}^{m}$ $m$ ${\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}$ $k$ ${\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}$

Például egy kétszeresen kontravariáns tenzor és egy kétszeresen kovariáns tenzor transzformációja a következő törvények szerint: $A^{{ij}}$ $A_{{ij}}$

{A'}^{ij}=\frac {\partial x'^i}{\partial x^q}\frac {\partial x'^j}{\partial x^p}A^{pq}

{A'}_{ij}=\frac {\partial x^q}{\partial x'^i}\frac {\partial x^p}{\partial x'^j}A_{pq}

Egyszeres kontravariáns és 1-szeres kovariáns tenzor esetén a transzformációk így néznek ki:

{A'}^j_i=\frac {\partial x^p}{\partial x'^i}\frac {\partial x'^j}{\partial x^q}A^q_p

Általában annak jelzésére, hogy a tenzor komponenseit prímszámmal új bázisra konvertálják, a prímszámot általában a tenzor megfelelő indexein jelölik, és nem a betűjelén, ebben az esetben a fenti képleteket a következőképpen írjuk fel.

A^{i'j'}=\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^q}\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^p}A^{ pq},\qquad A_{i'j'}=\frac {\partial x^q}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^p}{\partial x^{j'} }A_{pq},\qquad A^{j'}_{i'}=\frac {\partial x^p}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^{j'} }{\partial x^q}A^q_p

Algebra és geometria

A kategóriaelméletben a funktorok lehetnek kovariánsok és kontravariánsok. A vektortér kettős tere a kontravariáns funktor standard példája. A többlineáris algebra egyes konstrukciói vegyesek , és nem funktorok.

A geometriában ugyanaz a leképezés térben vagy téren kívül eltér, ami lehetővé teszi a konstrukció varianciájának meghatározását. Az M sima sokaság érintővektora egy P pontban az M - beli görbék ekvivalenciaosztálya, amelyek átmennek az adott P ponton . Ezért egy sima M leképezés alatt kontravariáns . Egy kovariáns vektort vagy kovektort ugyanúgy megszerkesztünk az M -ből a P körüli valós tengelyre történő sima leképezésből az érintőköteg kettős terére szerkesztett kotangens kötegben.

A kovariáns és kontravariáns komponensek különböző módon transzformálódnak az bázisok és ennek megfelelően a koordináták transzformációja során, ha – mint általában – koordinátabázisokat veszünk. .

Lásd még

Jegyzetek

↑ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne. Gravitáció (neopr.) . - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .

Irodalom

Sternberg, Shlomo (1983), Előadások a differenciálgeometriáról , New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .
Kilchevsky N. A. A tenzorszámítás elemei és alkalmazásai a mechanikában, Gostekhizdat 1954