Tenzor mező

A tenzormező egy olyan leképezés , amely a vizsgált tér minden pontjához hozzárendel egy tenzort .

Definíció

Formálisan egy tenzormező többféleképpen definiálható.

Definíció a sokaságon lévő struktúra fogalmában

A differenciálgeometria alapfogalmát - az elosztón lévő szerkezetet - felhasználva a következő definíciót adhatjuk:

Legyen , és típusú tenzorok tere a csoport természetes tenzoros reprezentációjával , akkor a típusstruktúra egy elsőrendű lineáris szerkezet, és a típusú tenzormezőnek (vagy tenzorszerkezetnek ) nevezzük . $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$

Definíció a tenzorköteg fogalmán keresztül

A tenzormező meghatározásakor ki lehet indulni a tenzorköteg fogalmából .

A tenzormező egy tenzorköteg szakasza egy differenciálható sokaságon , amely általános esetben izomorf az érintő és kotangens kötegek tenzorszorzatával. $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$

T^{{p,\;q))(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\otimes {q}{\otimes }}T(M)^{ *}.

Nem szigorú definíció

Kevésbé formálisan a tenzormezőt olyan leképezésnek tekinthetjük, amely állandó vegyérték tenzort rendel a vizsgált sokaság minden pontjához. $M$

Hatókör

A tenzormező fogalma természetesen felmerül a mechanikában és a kontinuumfizikában az anizotróp közegek leírásánál . A tenzormező fogalma minden alkalmazott tudományban alkalmazható, ahol az ilyen médiumokat figyelembe veszik és tanulmányozzák. Az általános és speciális relativitáselmélet matematikai apparátusába tartozik .

Kiterjesztett tenzormező

A kiterjesztett tenzormező fogalma a tenzormező fogalmának a fenti értelemben vett kiterjesztésének eredményeként jön létre.

Nem szigorú definíció

Az ilyen kiterjesztések megértésének legegyszerűbb módja egy nem szigorú definíción alapul, amely szerint a tenzormező egy olyan leképezés, amely a sokaság minden pontjához társít valamilyen , ehhez a ponthoz kapcsolódó fix vegyértékű tenzort . Legyen most egy másik sokaság, amely egy vonalköteg felett , és legyen egy ilyen köteg kanonikus vetülete. Ekkor a kiterjesztett tenzormező egy olyan leképezés, amely a sokaság minden pontjához hozzárendel egy bizonyos fix vegyérték tenzort a pontra hivatkozva . $\displaystyle x$ $\displaystyle M$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle x$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle M$ $\displaystyle \pi :{\tilde M}\to M$ $\displaystyle y$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle x=\pi (y)$

Irodalom

Matematikai enciklopédia / Szerk. I. M. Vinogradova . - M . : Mir, 1965. - T. 5. - S. 333. - 1060 p.
Rashevsky, P. K. Riemann geometria és tenzoranalízis . - 3. kiadás — M .: Nauka, 1967. — 664 p.