Tenzor köteg

A típusú tenzorköteg egy differenciálható sokaságon egy feletti vektorköteg , amely az érintőkeret-köteghez kapcsolódik, és szabványos szálként a -on típusú tenzorok terét tartalmazza , amelyben a csoport tenzorábrázolással működik. Például egybeesik a feletti érintőköteggel , a egybeesik a kotangens köteggel . $(p,\;q)$ $M$ $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$ $T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})$ $(p,\;q)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $GL(n,\;\mathbb {R} )$ $T^{1,\;0}(M)$ $T(M)$ $M$ $T^{0,\;1}(M)$ $T(M)^{*}$

Általában egy tenzorköteg izomorf az érintő és kotangens kötegek tenzorszorzatával:

T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes } }\,T(M)^{*}.

Maguk a kötegek csak az alapját képezik a típusú tenzorkötegek metszeteinek , amelyeket típus tenzormezőknek nevezünk , és a differenciálgeometria fő vizsgálati tárgyát képezik . Így például egy Riemann-féle szerkezet a köteg sima szakasza , amelynek értékei pozitív-definit szimmetrikus formák . $(p,\;q)$ $(p,\;q)$ $M$ $T^{0,\;2}(M)$

A köteg sima szakaszai egy modult alkotnak a sima függvények algebra felett . Ha egy parakompakt elosztó , akkor $T^{{p,\;q}}(M)$ $D^{p,\;q}(M)$ $F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)$ $M$ $M$

D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q} {\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},

ahol a sima vektormezők modulusa , a Pfaffi-féle differenciálformák modulusa, és a tenzorszorzatok átvételre kerülnek . $D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)$ $D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)$ $F^{\infty }(M)$

A klasszikus differenciálgeometriában a tenzormezőket néha egyszerűen tenzoroknak nevezik . $M$

Irodalom

Kobayashi Sh., Nomizu K. A differenciálgeometria alapjai. - M. : Novokuznyecki Fizikai és Matematikai Intézet, 1999. - T. 1. - 344 p. - ISBN 5-80323-180-0 . .
Helgason S. Differenciálgeometria, Lie csoportok és szimmetrikus terek. - M . : Factorial Press, 2005. - 608 p. - (XX. század. Matematika és mechanika). — ISBN 5-88688-076-3 . .