Vektor köteg

A vektorköteg egy meghatározott geometriai konstrukció, amely egy másik térrel paraméterezett vektorterek családjának felel meg (például lehet topológiai tér , sokaság vagy algebrai struktúra ): a tér minden pontja egy vektortérhez van társítva, így azok egyesülése kialakul. a (topológiai tér, változat vagy algebrai struktúra stb.) típussal azonos típusú tér, amelyet egy vektorköteg feletti térnek nevezünk . Magát a teret a köteg alapjának nevezzük . $x$ $x$ $x$ $x$ $V_{x}$ $x$ $x$ $x$

A vektorköteg a helyileg triviális kötegek speciális típusa , amelyek viszont a kötegek speciális típusai .

Általában a vektortereket valós vagy komplex számok felett tekintjük. Ebben az esetben a vektorkötegeket valósnak vagy komplexnek nevezzük. Az összetett vektorkötegek valódinak tekinthetők, további szerkezettel.

Példák

A legegyszerűbb példa egy triviális köteg , amelynek közvetlen szorzata van , ahol egy topológiai tér (a köteg alapja), és egy vektortér. $X\times V$ $x$ $V$
Bonyolultabb példa a sima elosztó érintőkötege : az elosztó minden egyes pontja hozzá van rendelve az elosztó azon pontjához tartozó érintőtérhez . Az érintőköteg általában nem triviális lehet.
Egy másik példa a nem triviális kötegekre a Möbius-szalag . Egy 1-es dimenziójú triviális köteggel kezdünk egy szegmens felett, és a szabály szerint ragasztjuk a vonalakat a végére . Ez egy példa egy vektorkötegre, amely nem orientálható. $[0,1]$ $[0,t]\sim [1,-t]$

Definíciók

A vektorköteg egy lokálisan triviális köteg, amelynek szála egy vektortér, reverzibilis lineáris transzformációk szerkezeti csoportjával . $V$ $V$

Kapcsolódó definíciók

Az X topológiai tér V vektorkötegének U alkötege lineáris alterek , gyűjteménye , amely maga is vektorköteg szerkezetével rendelkezik. $U_{x}\subset V_{x}$ $x\X-ben$
A vonalköteg egy 1. rangú vektorköteg.

Morphisms

A vektorkötegből avektorkötegfolyamatos leképezések adják meg,ésúgy, hogy ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1))$ ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2))$ $f\colon E_{1}\to E_{2}$ ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2))$

$g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$
bármely esetén az indukált leképezés vektorterek lineáris leképezése . $x\in X_{1}$ $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$ $f,$

Jegyezzük meg, hogy definiálva van (hiszen egy szurjekció); ebben az esetben azt mondják, hogy kiterjed . $g$ $f$ $\pi_{1}$ $f$ $g$

Az összes vektorköteg osztálya a kötegmorfizmusokkal együtt alkotja a kategóriát . Azokra a vektorkötegekre korlátozva magunkat, amelyek sima sokaságok és kötegek sima morfizmusai, megkapjuk a sima vektorkötegek kategóriáját . A vektorköteg-morfizmusok a kötegek lokálisan triviális kötegek közötti leképezésének speciális esetei , ezeket gyakran (vektor)kötegek homomorfizmusának nevezik .

A tól- ig kötegek homomorfizmusát az inverz homomorfizmussal együtt a (vektor)kötegek izomorfizmusának nevezzük . Ebben az esetben a kötegeket izomorfnak nevezzük . Egy vektorköteg (rank ) triviális köteggé (rank over ) való izomorfizmusát trivializációnak , míg triviálisnak (vagy trivializálhatónak ) nevezzük . A vektorköteg definíciójából világos, hogy bármely vektorköteg lokálisan triviális . $E_1$ $E_2$ $E_1$ $E_2$ $k$ $E$ $x$ $k$ $x$ $E$ $E$

Műveletek kötegeken

A legtöbb vektortereken végzett művelet ki lehet terjeszteni vektorkötegekre pontirányú művelettel .

Például, ha egy vektorköteg a -n van , akkor van egy köteg -on , az úgynevezett kettős köteg , amelynek szála egy pontban a kettős vektortér . Formálisan párok halmazaként definiálható , ahol és . A kettős köteg helyileg triviális. $E$ $x$ $E^{*}$ $x$ $x\X-ben$ $(E_{x})^{*}$ $E^{*}$ $(x,\varphi )$ $x\X-ben$ $\varphi \in E_{x}^{*}$

Sok funkcionális műveletet hajtanak végre vektortérpárokon (egy mezőn). Közvetlenül a vektorköteg párokra terjednek ki (egy adott mező felett). Íme néhány példa. $E,F$ $x$

A Whitney-összeg , vagyés közvetlen összegének kötege egy vektorköteg-on, amelynek egy pontban lévő szála aésvektorterekközvetlen összege . $E$ $F$ $E\oplus F$ $x$ $x$ $E_{x}\oplus F_{x}$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$

A tenzorszorzat - köteget hasonlóan definiáljuk, vektorterek pontszerű tenzorszorzatait használva. $E\otimes F$

A homomorfizmus-köteg ( hom-bundle ) olyan vektorköteg, amelynek szála egy pontban a lineáris leképezések tere tól -ig (gyakran vagy -vel jelöljük ). Ez a köteg azért hasznos, mert bijekció van a -tól -ig és a -ig terjedő részek homomorfizmusai között . $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $x$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$ $\operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})$ $L(E_{x},F_{x})$ $E$ $F$ $x$ $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $x$

Lásd még

Linkek

Mishchenko A.S. Vektor kötegek és alkalmazásaik. - M . : Tudomány. Fej. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1984. - 208 p.
Jürgen Jost. Riemann-féle geometria és geometriai elemzés - (2002) Springer-Verlag, Berliná ISBN 3-540-42627-2 - Lásd az 1.5. szakaszt .
Ralph Abraham , Jerrold E. Marsden. A mechanika alapjai, - (1978) Benjamin-Cummings, LondonbISBN 0-8053-0102-X -Lásd az 1.5. szakaszt.