Helyileg triviális köteg

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. július 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A helyileg triviális csomag olyan csomag , amely helyileg úgy néz ki, mint a közvetlen terméke .

Definíció

Legyen , és topológiai terek . A szürjektív folytonos leképezést egy szálas bázis feletti tér lokálisan triviális kötegének nevezzük, ha az alap bármely pontjához létezik olyan szomszédság , amely felett a köteg triviális . Ez utóbbi azt jelenti, hogy létezik olyan homeomorfizmus , amely szerint a diagram kommutatív $E$ $B$ $F$ $\pi \kettőspont E\-B$ $E$ $B$ $F$ $x\B-ben$ $U\B részhalmaz$ $\phi \colon \pi ^{{-1}}(U)\–U\times F$

Itt látható a terek szorzatának vetülete az első tényezőre. ${\mathrm {proj_{1}}}:\,U\times F\to U$

A teret a köteg összterének vagy kötegtérnek is nevezik . $E$

Kapcsolódó definíciók

A köteg egy szakasza olyan leképezés , hogy . Általánosságban elmondható, hogy nem minden csomagnak van szakasza. Például legyen egy sokaság , és legyen egységnyi hosszúságú vektorok részkötege az érintőkötegben . Ekkor a köteg szakasza egy vektormező nullák nélkül . A sündisznó fésülési tétele azt mutatja, hogy ilyen mező nem létezik egy gömbön. $s:B\E-nek$ $\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}$ $M$ $E\ to M$ $TM$ $E$ $M$
A halmazt a pont feletti köteg szálának nevezzük . Mindegyik szál homeomorf a térrel , ezért a teret a köteg általános (vagy modell) szálának nevezzük , $F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}$ $\pi$ $x\B-ben$ $F$ $F$ $\pi$
Azt a homeomorfizmust , amely egy kötegnek egy pont szomszédságára való korlátozását valamilyen triviális köteggel azonosítja , a köteg lokális trivializálásának nevezzük egy pont szomszédságában . $\varphi$ $\pi$ $x$ $\pi$ $x$
Ha az alap lefedése nyílt halmazokkal, és a megfelelő trivializációs leképezések, akkor a családot a köteg trivializáló atlaszának nevezzük . $\{U_{{\alpha }}\}$ $B$ $\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\ to U_{{\alpha }}\times F$ $\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}$ $\pi :E\-B$
Tegyük fel, hogy egy lokálisan triviális szálat megkülönböztető trivializációval ellátott alapborítással látunk el, és az összehasonlító leképezés korlátozása egy szálra az összes automorfizmus csoportjának valamelyik alcsoportjába tartozik . Ezután lokálisan triviális kötegnek nevezzük szerkezetcsoporttal . $\pi :E\-B$ $\{U_{\alpha }\}$ $B$ $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })$ $\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }$ $G$ $F$ $\pi$ $G$

Példák

Triviális köteg, vagyis az első faktorra való kivetítés. $B\-szer F\-B$
Bármilyen burkolat egy helyileg triviális szál, amely egy különálló szálat tartalmaz.
Az érintő , kotangens és tenzor kötegek tetszőleges sokaságon lokálisan triviálisak.
Ha egy topológiai csoport , és annak zárt alcsoportja, és a faktorizációnak vannak lokális szakaszai, akkor ez egy szálköteg ( Steenrod 1951 , §7). $G$ $H$ $\pi :G\to G/H$ $\pi$ $H$
A Möbius-csík egy nem triviális szál tere egy kör fölött.
A Hopf -csomag egy nem triviális csomag . Nincsenek szekciói, mivel ez egy főköteg a group szerkezettel , és minden szakaszt befogadó főköteg triviális. $S^{3}\ to S^{2}=S^{3}/S^{1}$ $U(1)$
Egy köteg összeállítható úgy, hogy tetszőlegesen megadjuk az alapját (tér ), a közös szálat (tér ) és az átmeneti térképeket (Cech 1-cocycle ) a tér bizonyos nyitott fedelére . Ekkor az E tér formálisan megkapható az alak hármasainak halmazaként az azonosítási szabállyal: $B$ $F$ $\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$ $B$ $\{(\alpha ,x,f_{{\alpha }}):\,x\in U_{{\alpha }}),\,f_{{\alpha }}\in F\}$

(\alpha ,x,f_{{\alpha }})=(\beta ,x,f_{{\beta }})

, ha

f_{{\beta }}=u_{{\beta \alpha }}f_{{\alpha }}

Tulajdonságok

Lokálisan triviális kötegekre érvényes a lefedő homotópia tétel . Legyen — egy lokálisan triviális köteg, térképek és , so , valamint leképezési homotópia (azaz ). Ekkor van egy olyan leképezési homotópia , hogy , azaz a következő diagram kommutatív $\pi :E\-B$ $g\colon M\to B$ $f\colon M\to E$ $g=\pi \circ f$ ${\tilde g}\colon M\times [0;1]\-B$ $g$ ${\tilde g}(m,0)=g(m)$ ${\tilde f}\colon M\times [0;1]\ to E$ $f$ ${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$ ${\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{mátrix}}$
Legyen egy helyileg triviális szálköteg ( néha formálisan így írják ). Ekkor a homotópiacsoportok sorrendje pontos : $E\ to B$ $F$ $F\–E\–B$

\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)

Az átmeneti térképek kielégítik a Cech 1-cocycle feltételét :

Ha , akkor .

x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}

u_{{\beta \alpha }}(x)=u_{{\beta \gamma }}(x)\circ u_{{\gamma \alpha }}(x)

Két köteg ugyanazon az alapon és ugyanazzal a rosttal akkor és csak akkor izomorf, ha a hozzájuk tartozó Cech 1-kociklusok kohomológiásak. (Megjegyezzük, hogy abban az esetben, ha a csoport nem kommutatív, az egydimenziós kohemológia nem alkot csoportot , hanem egy halmazt, amelyen a Cech 0-koláncok csoportja működik (bal oldalon) : ${\mathrm {Aut}}\,F$ $H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $u_{{\alpha \beta }}'(x)=f_{{\alpha }}(x)\circ u_{{\alpha \beta }}(x)\circ f_{{\beta }}(x) ^{{-1}}$ ,

hol van a Cech 0-kochain, amely a Cech 1-kociklusra hat . Az 1-egyciklusokat kohomológiainak mondjuk, ha ennek a cselekvésnek ugyanazon a pályáján helyezkednek el.)

\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

Bármely lokálisan triviális köteg és folyamatos leképezés esetén az indukált köteg lokálisan triviális. $\pi :X\-B$ $f:B'\ to B$ $f^{*}(\pi )$

Változatok és általánosítások

A helyileg triviális kötegek speciális esetet jelentenek
- Gurevich kötegek és
- Serre fibrációk .

Ha a terek sima (differenciálható) sokaságok , a leképezés sima és egy trivializáló atlaszt enged meg sima trivializációs leképezésekkel, akkor magát a köteget sima kötegnek nevezzük . $E,B,F$ $\pi$
Egy köteget holomorfnak nevezünk, ha a terek összetett sokaságok, a leképezés holomorf, és létezik egy trivializáló atlasz holomorf trivializációs leképezésekkel. $E,B,F$ $\pi$
Fő köteg .

Lásd még

Yang-Mills elmélet

Irodalom

Vasziljev V. A. Bevezetés a topológiába. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0