A Mobius szalag

A Möbius-csík ( Möbius-csík , Möbius- hurok ) egy topológiai objektum, a legegyszerűbb, nem tájolható felület határvonallal, amely a szokásos háromdimenziós euklideszi térbe ágyazva egyoldalú . $\mathbb {R} ^{3}$

A Möbius-sávot a feltételezések szerint August Ferdinand Möbius és Johann Benedict Listing német matematikusok egymástól függetlenül fedezték fel 1858-ban, bár hasonló szerkezetet ábrázol egy i.sz. 3. századi római mozaik [1] [2] .

A Mobius szalagos modell könnyen elkészíthető: kell venni egy kellően hosszú papírcsíkot, és a csík ellentétes végeit gyűrűvé kell ragasztani, először meg kell fordítani az egyiket. A háromdimenziós euklideszi térben a csavarás irányától függően kétféle Möbius-csík létezik: jobb és bal.

A Möbius-szalag Euler-karakterisztikája nulla.

Egyenletek

A Möbius-szalag részhalmazként való ábrázolásának egyik módja a paraméterezés: $\mathbb {R} ^{3}$

x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,

y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,

z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},

hol és . Ezek a képletek egy 1 szélességű Möbius-csíkot határoznak meg, amelynek középső körének sugara 1, és egy középpontú síkban fekszik . A paraméter a szalagon fut, és beállítja a távolságot a szélétől. $0\leqslant u<2\pi$ $-1\leqslant v\leqslant 1$ $xy$ $\left(0,\;0,\;0\jobb)$ $u$ $v$

Hengeres koordinátákban a Möbius - szalag korlátlan változata a következő egyenlettel ábrázolható: $\left(r,\;\theta ,\;z\jobb)$

\log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2)),

ahol a logaritmusnak tetszőleges alapja van.

Tulajdonságok

A Möbius-sáv határa egyetlen zárt ívből áll.
Topológiailag a Möbius-csík egy négyzet faktortereként definiálható a -re vonatkozó ekvivalenciarelációhoz képest . $\left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]$ $\left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)$ $0\leqslant x\leqslant 1$
A Möbius-csík egyben egy nem triviális szál tere egy szálvonalszakasszal rendelkező kör felett.
A Möbius szalag úgy helyezhető el, hogy a határ egy tökéletes kör. Az egyik módja a sztereográfiai vetítés alkalmazása egy 3D - s gömbbe merített Klein-palackra . Az ötlet a következő: legyen az egységkör a síkban . A -on lévő (vagyis a és -szögű pontokat ) összekötve egy körívvel, azt kapjuk, hogy a és közötti ívek a sík felett , a többinél pedig lent fekszenek (sőt, két helyen az ívek a repülőgép ). $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $xy$ $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $\theta$ $\theta +\pi$ $\theta$ $0$ $\pi /2$ $xy$ $\theta$ $xy$
- Azonban minden korong, amely a határkörhöz tapad, elkerülhetetlenül átmegy a Möbius-sávon.
Példa a Möbius-csík beágyazására az egyenlet által megadott felület $\mathbb {C} ^{2}$

z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }

z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},

Itt a paraméter 0-ról -ra változik . Ennek a felületnek a határa egy kör . A sztereografikus vetítés olyan beágyazást eredményez, amelynek határa pontosan egy kör.

\eta

\pi

z_{1}=0,|z_{2}|=1

\mathbb {R} ^{3}

Nyitott kérdések

Mennyi az a minimum , hogy egy téglalapból, amelynek kisebb oldala 1 és nagyobb a k oldala (a papírt nem szabad ráncosítani) le lehet hajtani egy nem önmagát metsző Möbius csíkot ? A bizonyított alsó becslés , a felső becslés [3] . $k$ ${\frac {\pi }{2))$ ${\sqrt {3}}$
Van olyan képlet, amely leírja a Möbius-csíkot, amelyet egy lapos papírlap hajtogatásával kapunk? A fenti képletek olyan felületet írnak le, amelyet nem lehet papírlapról hajtogatni, mert negatív görbülete van; a kérdés az, hogy lehet-e hasonló módon leírni egy nulla görbületű felületet? [négy]
- Nehezebb olyan formát találni, amely a rugalmas hajlítási energiát is minimalizálja. A probléma megoldását, amelyet először M. Sadowsky vetett fel 1930-ban, 2007-ben publikálták [5] . A megoldást azonban nem algebrai képlet írja le, és nem valószínű, hogy egyáltalán létezik ilyen képlet. A Möbius papírcsík térbeli egyensúlyi alakjának megtalálásához meg kell oldani a differenciál-algebrai egyenletrendszer határérték -feladatát .

Ha a szalagot levágják

Ha a csíkot a szélektől egyenlő távolságra lévő vonal mentén vágjuk le, akkor két Möbius csík helyett egy hosszú kétoldalas (csavart teljes kör) csíkot kapunk. A Möbius zenekar ezt a tulajdonságát 1904 óta használják az "Afghan Bands" [6] ( eng. The Afghan Bands ) nevű régi trükkben [7] , Wiener Norbert is leírja az I Am a Mathematician (1956) című művében . 8] és Martin Gardner Mathematics , Magic and Mystery (1956) című könyvében, az utóbbi azt is állítja, hogy a legkorábbi utalás a Möbius-szalag bűvésztrükkökre való használatára 1882-ből származik [9] . Ha a kapott szalagot a közepén vágjuk, két ilyen szalagot kapunk, egymásra tekercselve.
Ha levágjuk a Möbius-csíkot, a szélétől a szélessége körülbelül egyharmadával visszahúzódva, akkor két csíkot kapunk, az egyik egy rövidebb Möbius-szalag, a másik egy hosszú csík két félfordulattal [10] .
Más övkombinációk is készíthetők két vagy több félfordulattal rendelkező szíjakból. Például, ha három félfordulattal elvág egy szalagot, akkor egy lóhere csomóvá göndörödött szalagot kap . A szalag egy szakasza további fordulatokkal váratlan alakokat ad, úgynevezett paradromikus gyűrűket .

Művészet és technológia

A Möbius-szalag ihletet adott a szobrokhoz és a grafikához. Escher egyike volt azoknak a művészeknek, akik különösen kedvelték, és több litográfiáját is ennek a matematikai objektumnak szentelte. Az egyik híres, a "Möbius strip II" [11] , a Möbius-sáv felszínén mászkáló hangyákat ábrázol.

A Möbius-szalag a „Kvantum könyvtár” című népszerű tudományos könyvsorozat emblémája . A sci -fiben is visszatérő jelenség , például Arthur C. Clarke "The Wall of Gloom" című novellájában. Néha tudományos-fantasztikus történetek (az elméleti fizikusok nyomán) azt sugallják, hogy univerzumunk egy általánosított Möbius-szalag lehet. Ezenkívül a Möbius-gyűrűt folyamatosan emlegetik Vladislav Krapivin uráli író műveiben, a " A nagy kristály mélyén " című ciklusban (például: "Előőrs a horgonymezőn. Mese"). A.J. Deitch " Moebius Strip" című novellájában a bostoni metró új vonalat épít, amelynek útvonala annyira zavarossá válik, hogy Mobius-sáv lesz, ami után a vonatok eltűnnek ezen a vonalon. A történet alapján Gustavo Mosquera rendezésében a " Mobius " című fantasy filmet forgatták. A Möbius szalag ötletét M. Clifton "A Möbius szalagon" című történetében is használják.

1987-ben Leonyid Chizhik szovjet jazz-zongorista felvette a Moebius Tape című albumot, amelyen az azonos nevű kompozíció is szerepelt.

A Möbius-szalagnak vannak műszaki alkalmazásai. A Möbius szalag formájú szállítószalag szalag tovább tart, mert a szalag teljes felülete egyenletesen kopik. A folyamatos szalagos rendszerek Möbius szalagokat is használnak (a felvételi idő megduplázására). Sok mátrixnyomtatóban a tintaszalag Möbius-csík formájú is van, hogy növelje erőforrásait.

Szintén a CEMI RAS Intézet bejárata fölött látható Leonyid Pavlov építész [12] , E. A. Zharenova és V. K. Vasilcov művészekkel együttműködésben készült "Möbius Strip" mozaik domborműve (1976) [13] .

Néha úgy gondolják, hogy a Möbius-csík a végtelen szimbólum prototípusa , de ez utóbbi két évszázaddal korábban jelent meg [14] . $\infty$

Változatok és általánosítások

Egy szoros egyoldalú felület a Klein palack . Klein palackot kaphatunk, ha két Möbius csíkot ragasztunk a szélei mentén. A közönséges háromdimenziós euklideszi térben ez lehetetlen önmetszéspontok létrehozása nélkül.
Egy másik hasonló sokaság a projektív sík . Ha lyukat fúr a projektív síkban, akkor egy Möbius-szalag marad. Másrészt, ha a Möbius szalagra ragasztja a lemezt, illeszkedve azok határaihoz, akkor az eredmény egy projektív sík lesz.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Larison, Lorraine L. (1973). „A Möbius zenekar római mozaikokban”. Amerikai tudós . 61 (5): 544-547. Irodai kód : 1973AmSci..61..544L .
↑ Cartwright, Julyan H.E.; González, Diego L. (2016). „Möbius-csíkok Möbius előtt: topológiai utalások az ókori ábrázolásokban”. A matematikai intelligencia . 38 (2): 69-76. arXiv : 1609.07779 . Irodai kód : 2016arXiv160907779C . DOI : 10.1007/s00283-016-9631-8 . MR 3507121 .
↑ Fuchs D. Möbius szalag. Változatok egy régi témára Archivált 2011. november 15-én a Wayback Machine -nél // Kvant, 1979. 1. szám.
↑ Randrup T., Rogen P. Sides of the Möbius strip (angol) // Archiv der Mathematik : Journal. - 1996. - 1. évf. 66 . - P. 511-521 .
↑ Starostin. EL , van der Heijden GHM Möbius-szalag alakja (angol) // Nature Materials : Journal. - 2007. - doi : 10.1038/nmat1929 .
↑ Gardner M. A professzor, akinek nem voltak oldalai. A szerző feljegyzései // Tudomány és élet . - 1977. - 5. sz . - S. 127 . (Orosz)
↑ Hoffman professzor. Később Magic . - New York, London: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. - P. 471-473.
↑ Wiener Norbert. Matematikus vagyok . - Garden City, New York: Doubleday & Company, 1956. - P. 26-27 . Orosz fordításban: Norbert Wiener. Matematikus vagyok / Per. angolról. Yu. S. Rodman. - 2. kiadás - M . : Tudomány , 1967. - S. 19-20.
↑ Martin Gardner. Matematika, mágia és rejtély . - New York: Dover Publications, 1956. - P. 70-73 .
↑ Kordemsky B. A. Csináld magad topológiai kísérletek A Wayback Machine 2016. június 8-i archív másolata // Kvant, 1974. 3. szám
↑ M.C. Escher - Mobius Strip II . Letöltve: 2014. október 5. Az eredetiből archiválva : 2014. október 6.. (határozatlan)
↑ Számítási varázsló . Hozzáférés időpontja: 2015. december 12. Az eredetiből archiválva : 2015. december 22. (határozatlan)
↑ Maria Serova építész - Leonyid Pavlov "fülű házáról" - The Village - The Village . Hozzáférés időpontja: 2015. december 12. Az eredetiből archiválva : 2015. december 22. (határozatlan)
↑ Möbius szalag // "Hétvége" magazin 10. szám (106) 2009.03.20 . Letöltve: 2012. augusztus 4. Az eredetiből archiválva : 2012. augusztus 4.. (határozatlan)

Irodalom

Fomenko A. T., Fuchs D. B. A homotópia topológia menete.- M.: Nauka, 1989.
Gardner M. Matematikai csodák és titkok. - M .: Nauka, 1978.

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 1106880307

Kompakt felületek és elmerüléseik a háromdimenziós térben

Egy kompakt háromszögletű felület homeoformitási osztályát az orientálhatóság, a határkomponensek száma és az Euler-karakterisztika határozza meg.

Nincs határ

Tájékozódható	Gömb (0. nemzetség) Thor (1. nemzetség) "Nyolc" (2. nemzetség) " Perec " (3. nemzetség) ...
Nem tájékozódó	Valódi projektív sík 1. nemzetség; Battle Surface római felszín Klein palack (2. nemzetség) Dick felület (3. nemzetség) ...

szegéllyel

Korong
- félteke
Szalag
- Gyűrű
- Henger
A Mobius szalag
- Möbius szalag
Három lyukú gömb...

Kapcsolódó
fogalmak

Tulajdonságok	Kapcsolódás tömörség Háromszögelés vagy simaság Tájékozódás
Jellemzők	A határelemek száma Nemzetség Euler-jellemző
Tevékenységek	Összekapcsolt összeg lyukvágás A fogantyú felragasztása A Möbius szalag rögzítése elmerülés