Sztereografikus vetítés

A sztereografikus vetítés egy bizonyos típusú leképezés egy gömbből, amelynek egy pontja egy síkra van kilyukadva.

Definíció

A pont (a gömb északi pólusa) a síktól legnagyobb távolságban lévő pont . A gömb minden pontján keresztül egyetlen egyenes köti össze és . Az egyenes egyetlen pontban metszi a síkot , amely így a pont sztereografikus képe. Ennek eredményeként egy átszúrt pontú gömb egy- egy síkra való leképezését kapjuk . $N$ $\Pi$ $x\neq N$ $D$ $N$ $x$ $D$ $x$ $x$ $N$ $\Pi$

A teljes gömb egy-egy leképezése érdekében a síkot ki kell egészíteni egy olyan elemmel, amely egy átszúrt pont képe . Ez az elem az úgynevezett végtelen pont , amelyet a szimbólum jelöl . Az elemmel kiegészített síkot kiterjesztett síknak nevezzük . Egy teljes gömb sztereografikus vetítése egy kiterjesztett síkra egy homeomorf leképezés, az inverz kép a képére törekszik . $N$ $\infty$ $\infty$ $x\to N$ $X\to \infty$

Tulajdonságok

A sztereográfiai vetület egy konform leképezés – megőrzi a görbék közötti szögeket és az infinitezimális alakzatok alakját. A sztereografikus vetítés a síkon lévő köröket gömbön lévő körökké, a síkban lévő egyeneseket pedig a vetület középpontján átmenő körökké képezi le . $N$

A sztereografikus vetítés a gömbön lévő meridiánok és párhuzamosok konjugált ceruzáit leképezi egy síkon lévő körök konjugált elliptikus és hiperbolikus ceruzáira.

A sztereografikus vetület a komplex projektív egyenes homeomorfizmusát valósítja meg a kétdimenziós gömbre: ehhez a kétdimenziós (a mező feletti ) valós síkot koordinátákkal kell egydimenziós (a mező feletti ) egyenesnek tekinteni. a komplex változóból . ${\mathbb {C}}{\mathrm {P}}^{1}$ $\mathbb {R}$ $x,y$ $\mathbb {C}$ $z=x+iy$

A sztereografikus vetületi gömb mozgásai Möbius-transzformációkat generálnak a komplex síkon , éppúgy, mint a Gnomonic projekció projektív transzformációkat generál a síkon. [egy]

Alkalmazások

A fotózásban

A sztereografikus vetítés gömbpanorámák megjelenítésére szolgál. Ez érdekes eredményekhez vezet: a vetítés középpontjától távol eső területek nagymértékben megnyúlnak, ami az úgynevezett "kisbolygó-effektusokat" hozza létre. Más azimut vetítésekkel összehasonlítva a sztereográfiai vetítések általában a legkellemesebb panorámákat produkálják; ez a vetület konformitása következtében a formák pontos átadásából adódik .

A krisztallográfiában

A sztereografikus vetítést a kristályok pontszimmetriacsoportjainak megjelenítésére használják .

Történelem

A sztereografikus vetületet Pergai Apollonius fedezte fel c. Kr.e. 200 e. Ennek a vetületnek a tulajdonságait Claudius Ptolemaiosz írta le a Planispherius című értekezésében. Az ókori csillagászok sztereografikus vetítést használtak az égi szféra egy síkon ábrázolására az asztrolábiumban .

Változatok és általánosítások

A sztereografikus vetület az ( n + 1) dimenziós E n + 1 euklideszi térben lévő S n n - gömbre alkalmazható . Ha Q egy pont az S n -en és E egy hipersík E n + 1 - ben , akkor a P ∈ S n − { Q } pont sztereografikus vetülete az egyenes E -vel való metszéspontjának P ′ pontja . $\scriptstyle \overline {QP}$

Az általánosított sztereográfiai vetületet például a 3 gömb és a Hopf-köteg grafikus ábrázolására használják .

Lásd még

Irodalom

Rosenfeld B. A., Sergeeva N. D. Sztereografikus vetítés . Népszerű matematikai előadások sorozat , vol. 53. M.: Nauka, 1973.

Jegyzetek

↑ G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Új_találkozások_geometriával_1978 (határozatlan) . - Moszkva "Nauka", 1978. - S. 225. (elérhetetlen link) (186. o.)

Linkek

Példák a "kis bolygókra"

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán nagy kínai Nagy norvég Nagy orosz Nagy Szovjet (1 kiadás) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11940456d J9U : 987007565815005171 LCCN : sh85126597 NDL : 00571765