Riemann gömb

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Riemann-gömb egy halmaz vizuális megjelenítése gömb formájában, ahogyan a valós számok halmazát egyenes alakban ábrázolják, és ahogyan a komplex számok halmazát sík formájában ábrázolják . Emiatt a „Riemann-gömb” kifejezést gyakran a „ végtelenben lévő ponttal kiegészített komplex számok halmaza ” kifejezés szinonimájaként használják a „ kibővített komplex sík ” kifejezéssel együtt. [egy] ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

Formálisabb megközelítésben a Riemann-gömbön az egyenlet által megadott térbeli gömböt értjük, amelynek sztereografikus vetülete van a síkba , és azonosítjuk a komplex síkkal. Erről a formálisan meghatározott konstrukcióról lesz szó az alábbiakban. [egy] $\mathbb {R} ^{3}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ $Oxy$

Leírás

Tekintsünk egy háromdimenziós euklideszi teret . A háromdimenziós térben lévő pontok koordinátáit jelöljük . Tekintsük a síkot érintő gömböt egy átmérőjű pontban . Egy ilyen gömböt az egyenlet ad meg $\mathbb {R} ^{3}$ $(\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$ $O\xi \eta$ $(0;0;0)$ $egy$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

A sík minden pontja hozzárendelhető a gömb egy pontjához az alábbiak szerint. Rajzoljunk át egy pontot és egy egyenest; ez az egyenes még egy pontban metszi a gömböt, amit a pontnak megfelelőnek tekintünk . Az ilyen megfeleltetést sztereografikus vetületnek nevezzük , amelynek középpontja . A sík minden pontjához egyedileg társítja a gömb egy pontját. A gömbön azonban nem minden pont felel meg egy pontnak a síkon: a síkon egyetlen pont sem felel meg egy pontnak. Így van egy-egy megfeleltetésünk a sík és a között . $(\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta$ $M\in S$ $N=(0;0;1)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $N$ $N$ $O\xi \eta$ ${\displaystyle S\setminus \{N\))$

A sík azonosítható a komplex síkkal , . Ekkor a fent definiált megfeleltetés egy folyamatos egy az egyhez leképezést határoz meg . A teljes gömbre vonatkozó bijekciós leképezés befejezéséhez a halmazt kiegészítjük még egy ponttal, amelyet a pont inverz képének tekintünk . Ezt a pontot a végtelenben lévő pontnak nevezzük, és -vel jelöljük . Van egy kételyünk . A halmazt komplex számok kiterjesztett halmazának , a gömböt Riemann-gömbnek nevezzük . [egy] $O\xi \eta$ $\mathbb {C}$ $x+iy=(\xi ,\eta ,0)$ $\tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\}$ $\mathbb {C}$ $N$ $\infty$ $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ $S$

A leírt konstrukciót gyakran használják sok tankönyvben a komplex számok kiterjesztett halmazának vizuális meghatározására. Valójában ennek a halmaznak a topológiája úgy definiálható, hogy a nyílt halmazokat nyitott halmazok előképeiként állítjuk be a -hoz képest , és a műveletek végtelenig terjednek a folytonosság szerint. A Riemann-gömböt használó definíció teljes mértékben leírja a komplex számok halmazának bővítésének lényegét, sőt, annak vizuális értelmezését is reprezentálja. $\pi$

Formális definíció

Az egyenlettel megadott gömb a térben $S$ $R^{3}$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

mint adott leképezéssel együtt ${\displaystyle \pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}

Riemann-gömbnek nevezett .

A definícióban szereplő leképezés megfordítható, ennek jelentése nem változik.

Koordináták

A komplex számok kiterjesztett halmazán a numerikus koordinátákat háromféleképpen vezetjük be:

affin komplex koordináta , amely képes felvenni az értéket ; $z$ $\infty$
projektív homogén komplex koordináták ; $[z_{0}:z_{1}]$
háromdimenziós valós koordináták , amelyeket az egyenlet kapcsol össze: $\xi ,\eta ,\zeta$

\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Az egyik koordinátáról a másikra való átmenetet a következő képletek adják meg:

z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}

z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{mátrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end {mátrix}}\jobbra.

\left\{{\begin{mátrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z| ^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{mátrix}}\jobbra.

z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta ))

[egy]

Szférikus metrika

A Riemann-gömb lehetővé teszi, hogy egy másik, az euklideszitől eltérő mérőszámot is bevezessünk a készletbe. Ezt a mérőszámot gömbi metrikának nevezik . Ez az euklideszi metrika a Riemann-gömb megfelelő pontjai között. Vagyis két számra $\mathbb {C}$ $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Ilyen távolságra nem nehéz közvetlen kifejezést szerezni.

\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2} }}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}

Az euklideszi és a gömbi metrika egyenértékű a -n . A gömbmetrika sajátossága, hogy az euklideszi számmal ellentétben kiterjeszthető komplex számok kiterjesztett halmazára. Az ilyen folytatás pontosan ugyanígy van meghatározva. Két elemhez $\mathbb {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Az ilyen távolság közvetlen kifejezése, amikor az egyik pont a végtelen, másképp van írva.

\rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2))))

[egy]

Automorfizmusok

Egy tartomány automorfizmusait e tartomány önmagára való holomorf bijektív leképezéseinek nevezzük. A komplex számok teljes kiterjesztett halmazának automorfizmusai esetében általában a "Riemann-gömb automorfizmusai" kifejezést használják - egy példa arra, hogy a "Riemann-gömb" kifejezést a "komplexek kiterjesztett halmaza" kifejezés szinonimájaként használják. számok". A Riemann-gömb automorfizmusai tört lineáris transzformációk (vagy Möbius-transzformációk ). Hadd $U\subset \mathbb {C} \cup \infty$

\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{mátrix}}\right|\neq 0

A tört lineáris transzformációt a következőképpen határozzuk meg $f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$

f(z)={\frac {az+c}{bz+d))

a folytonosságra kiterjesztve minden olyan ponton, ahol ez a kifejezés nincs közvetlenül definiálva.

A Riemann-gömb lineáris tört leképezései a köröket körökké alakítják. [2]

Alkalmazások

A matematikán kívül a Riemann-szféra az elméleti fizikában is híres .

A speciális relativitáselméletben a Riemann-gömb az égi szféra modellje . A Möbius-transzformációk a Lorentz-transzformációhoz kapcsolódnak , és az égi szféra torzulását írják le egy közel fénysebességgel mozgó megfigyelő számára.

A Möbius és Lorentz transzformáció is a spinorokhoz kapcsolódik . A kvantummechanikában a Riemann-gömb a kétdimenziós térrel (lásd q-bit ) leírt rendszerek állapotait paraméterezi , különösen az 1/2-es spinnel rendelkező masszív részecskék, például az elektron spinjét . Ebben az összefüggésben a Riemann-gömböt Bloch-gömbnek nevezik, és a szélességi-hosszúsági koordinátákat majdnem úgy használjuk rajta, mint egy szabályos gömbön, csak a szélességi fokot számoljuk a pólustól, és a szöget elosztjuk 2-vel, beleértve (lásd a 2. ábrát). ) $\theta$ $0<\theta <\pi /2$

Ebben az esetben a következő összefüggések igazak:

z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta

\left\{{\begin{mátrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{mátrix} }\jobb.

A polarizációs optikában a Riemann-gömböt Poincaré-gömbnek , a koordinátatengelyeket pedig Stokes-paramétereknek nevezzük .

A gömb belseje

A gömb ( labda ) belseje mindkét fenti alkalmazásban lehetővé teszi a szemantikai értelmezést. Mivel az égi szféra a téridő fényszerű irányainak halmaza, így a belseje időszerű irányoknak, vagyis valójában relativisztikus részfénysebességeknek felel meg . Ez a tér hiperbolikus (állandó negatív görbülete van , mint a Lobacsevszkij-síknak , csak 3-as, nem 2-es dimenzióval); természetesen ki van téve a Möbius-transzformációknak.

A Bloch-gömb belseje a q-bit úgynevezett kevert állapotainak felel meg , és geometriailag úgy van elrendezve, mint egy szabályos golyó.

Mindkettőt azonban pozitív-definit 2×2 Hermitiánus mátrixok írják le, amelyeket a pozitív számmal való szorzásig tekintenek.

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.

Linkek

Riemann-gömb // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Riemann-szféra , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

↑ 1 2 3 4 5 Shabat, 1969 , p. 16.
↑ Shabat, 1969 , p. 47.