Spinor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A spinor ( eng. spin - rotate) a vektor fogalmának egy speciális általánosítása , amelyet az euklideszi vagy pszeudoeuklideszi tér forgáscsoportjának jobb leírására használnak .

Az V tér spinorleírásának lényege egy S segédkomplex lineáris tér felépítése úgy, hogy V beágyazódik (az S tér tenzorszorzatába a komplex konjugált önmagával). $S\otimes S^{*}$

Az S és tér elemeit "spinoroknak" nevezzük; gyakran (bár nem feltétlenül) nélkülözik a közvetlen geometriai jelentést.

A spinorokon azonban „majdnem” definiálható egy forgáscsoport működése , nevezetesen: egy forgás a spinorra hat modulo 1-ben egyenlő, határozatlan komplex tényezőig (egyszerű esetekben ±1-ig). ábrázolhatók közönséges komplex vektorokként, de antiszimmetrikus metrikával rendelkező térben, például:

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

A spinor indexek lehetnek pontozottak és nem pontozottak, mivel egyes indexeknél a spinor komplex konjugátummá alakul át.

Ha az eredeti V teret a valós számok mezejének tekintjük , akkor a V - ből származó vektorokat S -ben írjuk le hermitikus mátrixokkal . $\mathbb {R}$

Egy ilyen konstrukció matematikailag szigorú indoklása a vizsgált V térből szerkesztett Clifford algebra segítségével történik .

A spinorokat először E. Cartan vette figyelembe a matematikában 1913 - ban . B. van der Waerden fedezte fel újra 1929 - ben a kvantummechanikai kutatások kapcsán .

Definíció

Az első rangú spinor egy vektor egy kétdimenziós komplex térben, amely a következő képletek szerint alakul: $a=(a_{1},a_{2})$

a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}

a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}

eggyel egyenlő transzformációs determinánssal:

{\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}}=1

A spinort is jelölik . $a$ $a_{k},(k=1,2)$

Az együtthatók komplex számok. $\alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)$

Minden spinorhoz tartozik egy kospinor a kétdimenziós komplex térben, amelyet a következő képletek alakítanak át: $b=(b_{\pont {1)),b_{\pont {2)))$

b_{\pont {1}}^{'}={\sáv {\alpha _{11}}}b_{\pont {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\pont {2}}

b_{\pont {2}}^{'}={\sáv {\alpha _{21}}}b_{\pont {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\pont {2}}

ahol kötőjelek jelölik az összetett konjugált mennyiségeket. A cospinorok indexei pontokkal vannak jelölve. [egy]

A magasabb rangú spinorok olyan mennyiségek, amelyek az első rangú spinorok termékeiként alakulnak át. Például egy második rangú spinor az első rangú spinorok szorzataként alakul át . A második rangú kevert spinor az első rangú spinorok szorzataként alakul át . $a_{kl}(k,l=1,2)$ $a_{{k}}b_{{l}}$ $a_{{\pont {k}}l}({\pont {k}},l=1,2)$ $a_{\pont {k}}b_{l}$

A spinoralgebrában, csakúgy, mint a tenzoralgebrában, a fent és lent ismétlődő indexekre vonatkozó összegzés szabálya érvényes, és van egy második rangú metrikus spinor, amelyet a következőképpen definiálunk: $e^{{kl}}$

a^{{k}}=e^{{kl}}a_{{l}}

a_{{k}}=e_{{kl}}a^{{l}}

e_{kl}=e_{lk}=e_{{\pont {k}}{\pont {l}}}=e_{{\pont {l}}{\pont {k}}}={\begin{ pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

e^{kl}=e^{lk}=e^{{\pont {k}}{\pont {l}}}=e^{{\pont {l}}{\pont {k}}}= {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Tulajdonságok

A spinorok és a cospinorok koordinátáit a következő összefüggések kapcsolják össze:

a^{1}=a_{2}

. _

b^{\pont {1}}=b_{\pont {2}}

a^{2}=-a_{1}

. _

b^{\pont {2}}=-b_{\pont {1}}

Bármely páratlan rangú spinor abszolút értéke nulla:

a_{{l}}a^{{l}}=0

a_{{lmn}}a^{{lmn}}=0

a^{{l}}b_{{l}}c_{{m}}+a_{{l}}b_{{m}}c^{{l}}+a_{{m}}b^{{ l}}c_{{l}}=0

[2] .

A spinorokat olyan differenciáloperátorok bevezetésére használják, amelyek invariánsak bináris transzformációk során.

A négydimenziós gradiens összetevői megfelelnek az operátoroknak:

\partial _{1}^{1}=\partial _{{\pont {2}}1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}+i{\frac {\partial }{\részleges x^{2))}

-\partial _{2}^{\pont {2}}=\partial _{{\pont {1}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}-i{ \frac {\partial }{\partial x^{2))}

-\partial _{1}^{\pont {2}}=\partial _({\pont {1}}{\pont {1}}}={\frac {\partial }{\partial x^{3 ))}-{\frac {\partial }{\partial x^{4))}

-\partial _{2}^{\pont {1}}=\partial _{{\pont {2}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{3}}}+{\ frac {\partial }{\partial x^{4}}}

[1] .

Háromdimenziós tér

Ahhoz, hogy egy 3-dimenziós teret S -ként ábrázoljunk , egy 2-dimenziós komplex teret kell venni $S={\mathbb {C} }^{2}.$

A háromdimenziós tér vektorai nulla nyomvonalú mátrixoknak felelnek meg .

A 3-dimenziós euklideszi tér spineinek algebrája közel áll a belső és vektorszorzatok algebráihoz . Ez az algebra kényelmes leírást tesz lehetővé Hamilton kvaterniók szempontjából . Nevezetesen, minden egyes valós (vagy komplex ) számból származó x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) vektorhoz komplex mátrixot társíthatunk :

{\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=\left( {\begin{mátrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{mátrix}}\jobbra),

hol vannak a Pauli-mátrixok (az e 1 , e 2 , e 3 bázisvektorokhoz kapcsolódnak ). $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end {pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Az ilyen formájú X mátrixok , amelyek az x vektorokhoz vannak társítva, a következő tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek belsőleg a 3-dimenziós tér geometriájához kapcsolják őket:

det X = −(hossz x ) 2 .
X 2 = (hossz x ) 2 I , ahol I az azonosságmátrix.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.$
${\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ,$ ahol Z a z = x × y keresztszorzathoz társított mátrix .
Ha u egységvektor, akkor az UXU az a mátrix, amely az u -ra merőleges síkra való tükrözéssel kapott x - ből kapott vektorhoz van társítva .
A lineáris algebra szerint a háromdimenziós térben bármely forgás két visszaverődésként ábrázolható. (Hasonlóan minden fordított ortogonális transzformáció vagy visszaverődés, vagy három (általában páratlan számú) visszaverődés szorzata.) Így, ha R egy elforgatás, amely két egymást követő visszaverődésként ábrázolható az u 1 és u 2 egységvektorokra merőleges síkban , akkor az U 2 U 1 XU 1 U 2 mátrix az x vektor R elforgatását jelenti .

A 3-dimenziós tér forgásának teljes geometriáját komplex 2×2-es mátrixok halmazaként ábrázoló hatékony módon természetes, hogy vajon milyen szerepet játszanak a 2×1-es mátrixok, ha vannak ilyenek. Nevezzünk ideiglenesen egy oszlopvektort spinornak:

\xi =\left[{\begin{mátrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{mátrix}}\jobbra],

ξ 1 és ξ 2 komplex komponensekkel . Nyilvánvalóan összetett 2×2 mátrixok működnek a spinor térben. Ezenkívül két reflexió szorzata (adott egységvektorpárra) egy 2x2-es mátrixot határoz meg, amelynek az euklideszi vektorokra gyakorolt hatása egy elforgatás, így elforgatja a spinorokat. De van itt egy fontos tulajdonság - a forgás faktorizációja nem egyedülálló. Nyilvánvaló, hogy ha X → RXR −1 egy elforgatás reprezentációja, akkor R-t − R-re cserélve ugyanazt a forgatást kapjuk . Valójában könnyen kimutatható, hogy ez az egyetlen bizonytalanság, ami felmerül. A forgásművelet spinoron mindig kétértékű.

Minkowski tér

Ha a három Pauli - mátrixhoz hozzáadjuk a 0-val jelölt identitásmátrixot , akkor az M Minkowski-tér spinor-reprezentációját kapjuk :

X=\sigma _{\mu }x^{\mu },\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.

Ebben az esetben a fényszerű vektorok (nulla hosszúságúak) megfelelnek a alakú degenerált mátrixoknak , ahol . $\pm {\bar {\psi }}\otimes \psi$ $\psi \in S$

A Minkowski-tér és a 2×2 Hermitiánus mátrixok közötti megfelelés: M ≈Herm(2) egy az egyhez lesz .

Spinors a fizikában

A spinorok korántsem pusztán absztrakt konstrukciók, amelyek a valóság geometriájához képest semmilyen módon nem nyilvánulnak meg. A kvantummechanikában előforduló sok mennyiség spinor (lásd spin , Dirac-egyenlet ). A relativisztikus megfontolásban a Minkowski-tér fenti spinorábrázolását használjuk. Például a Maxwell-egyenleteknek van egy meglehetősen egyszerű spinor-ábrázolása .

Alacsony sebességnél 3-dimenziós spinorokat használnak.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Van der Werden B. L. Csoportelmélet módszere a kvantummechanikában , M., URSS szerkesztőség, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ A fizika alapképletei, szerk. D. Menzela, M., IL, 1957

Irodalom

Dirac P. Spinors a Hilbert-űrben / Per. angolról. — M.: Mir, 1978. — 126 p.
Zhelnorovich VA A spinorok elmélete és alkalmazása a fizikában és a mechanikában. — M.: Nauka, 1982. — 272 p.
Zhelnorovich VA A spinorok elmélete és alkalmazásai. — M.: August-Print, 2001. — 400 p. — ISBN 5-94681-001-4
Cartan E. A spinorok elmélete / Per. franciából — M.: GIIL, 1947.
Penrose R. , Rindler W. Spinorok és téridő. 2. kötet / Fordítás angolból. — M.: Mir, 1988. — 584 p.
Rashevsky P. K. A spinorok elmélete. - Szerk. 2. - M .: KomKniga, 2006. - 112 p. — ISBN 5-484-00348-2
Rumer Yu. B. Spinor elemzés. - M.-L.: ONTI, 1936. - 104 p.
Yappa Yu. A. Bevezetés a spinorok elméletébe és alkalmazásai a fizikában: Tankönyv / Szerk. V. A. Franke. - Szentpétervár. : St. Petersburg State University, 2004. - 256 p. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Linkek

[bse.sci-lib.com/article105279.html "Spin Calculus"] a TSB -ben .