Pauli mátrixok

A Pauli-mátrixok három hermitiánus és egyidejűleg egységes 2×2 -es mátrix halmaza , amelyek bázist képeznek az összes nulla nyomvonalú hermitiánus 2×2-es mátrix terében . Wolfgang Pauli javasolta, hogy írja le az elektron spinjét a kvantummechanikában . A mátrixok úgy néznek ki

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix)),

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Ehelyett néha a és jelölést használják . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3))$ ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z))$ $X,Y,Z$

Gyakran használt mátrix is

\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

egybeesik az identitásmátrixszal , amelyet néha úgy is jelölnek, mint . $én$ $E$

A Pauli-mátrixok a mátrixszal együtt alapot képeznek az összes 2×2-es Hermitiánus mátrix (nem csak a nulla nyomvonalú mátrixok) terében. $\sigma _{0}$

Tulajdonságok

Alaparányok

Hermiticitás : $\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};$
Egyenlőség a nullával : $\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \i=1,2,3$
$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=I,$ ahol egy 2×2-es azonosságmátrix . $I=\sigma _{0}$
Egység : ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i))$
A Pauli-mátrixok determinánsa −1.
Az elemek által generált algebra izomorf a kvaternió algebrával . ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z))$ $\langle 1,i,j,k\rangle$

Pauli mátrixszorzási szabályok

\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},

\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},

\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},

{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i))

számára

i\neq j.

Ezek a szorzási szabályok tömör formában átírhatók

\sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j ,k=1,2,3

ahol a Kronecker szimbólum és az ε ijk a Levi-Civita szimbólum . $\delta _{{ij}}$

Ezekből a szorzási szabályokból következnek a kommutációs relációk

{\begin{mátrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{mátrix}}

A szögletes zárójelek kommutátort , a göndör zárójelek antikommutátort jelentenek .

Ezenkívül a Firtz-identitások érvényesek a Pauli-mátrixokra is .

Kapcsolódás Lie algebrákkal

A mátrixok kommutációs relációi egybeesnek a Lie algebra su(2) generátorainak kommutációs relációival. Valójában ez az egész algebra , amely 2 × 2 antihermitiánus mátrixból áll , összeállítható mátrixok tetszőleges lineáris kombinációiból . különösen ez magyarázza a Pauli-mátrixok fontosságát a fizikában. ${\displaystyle i\sigma _{k))$ $i\sigma _{k}\;.$

Alkalmazások a fizikában

A kvantummechanikában a mátrixok infinitezimális forgások generátorai a ½ spinű nem relativisztikus részecskék számára. A fél-egész spinű részecskék spin operátormátrixának elemeit a Pauli-mátrixok [1] segítségével fejezzük ki : $i\sigma _{j}/2$

$(s_{x})_{\sigma ,\sigma -1}=(s_{x})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {1}{2)){\sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{y})_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_{y})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {-i}{2}}{ \sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{z})_{\sigma \sigma }=\sigma$

Az ilyen részecskék állapotvektora egy kétkomponensű spinor [2] . A kétkomponensű spinorok alkotják az SU(2) csoport alapvető reprezentációjának terét.

Lásd még

Firtz identitások

Jegyzetek

↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 55. Spin operator // Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 5. kiadás. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 p. - ( Elméleti fizika , III. kötet). — ISBN 5-9221-0057-2 .
↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 56. Spinors // Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 5. kiadás. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 p. - ( Elméleti fizika , III. kötet). — ISBN 5-9221-0057-2 .

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 4. kiadás. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Elméleti fizika ", III. kötet). - ISBN 5-02-014421-5 .