Algebra a gyűrű felett

A gyűrű feletti algebra egy olyan algebrai rendszer , amely egyszerre egy modul ezen a gyűrűn és maga a gyűrű, és ez a két struktúra összefügg egymással. A gyűrű feletti algebra fogalma a mező feletti algebra fogalmának általánosítása , ahogy a modul fogalma általánosítja a vektortér fogalmát .

Definíciók

Legyen tetszőleges kommutatív gyűrű identitással. Egy gyűrű feletti modult , amelyben egy adott bilineáris leképezéshez (nem egy mező, hanem egy gyűrű felett bilineáris ) egy szorzat az egyenlőség szerint van definiálva , over vagy -algebra algebrának nevezzük . $K$ $A$ $K$ $K$ $f\colon A\times A\rightarrow A$ $ab=f(a,b)$ $K$ $K$

A definíció szerint mindenre és az összefüggések érvényesek: $k,\;l\in K$ $a,\;b,\;c\in A$

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$1a=a$ , hol a gyűrű mértékegysége $egy$ $K$

Az összeadás és szorzás műveleteit tekintve az algebra egy gyűrű.

Mert a kommutátort az egyenlőség határozza meg . -algebrát kommutatívnak nevezzük, ha . $a$ $b\in A$ $[a,b]=ab-ba$ $K$ $[a,b]=0$

Az asszociátort ugyanis az egyenlőség határozza meg . -algebrát asszociatívnak nevezzük, ha . $a,b,c\az A-ban$ $(a,b,c)=(ab)ca(bc)$ $K$ $(a,b,c)=0$

Ha van olyan elem , amely mindenre vonatkozik , akkor azt az algebra egységének , magát az algebrát pedig egységgel rendelkező algebrának nevezzük . $e\in A$ $ea=ae=a$ $a\in A$ $e$ $A$

Néha algebrát nem kommutatív gyűrűkre is definiálnak, ebben az esetben a feltétel helyett egy gyengébb feltétel szükséges: . $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ $k(ab)=(ka)b$

Bármelyik gyűrűt tekinthetjük az egész számok gyűrűje feletti algebrának , ha a szorzatot (ahol egész szám) általában, azaz a másolatok összegeként értjük . Ezért a gyűrűket az algebrák speciális esetének tekinthetjük. $na$ $n$ $n$ $a$

Ha bilineáris leképezés helyett multilineáris leképezést választunk, és a szorzatot a következő szabály szerint definiáljuk , akkor a kapott algebrai struktúrát -algebrának nevezzük. $f$ $g:A^{n}\jobbra nyíl A$ $a_{1}\pontok a_{n}=g(a_{1},\pontok ,a_{n})$ $n$

Ingyenes algebra

Ha egy kommutatív gyűrű feletti algebra szabad modul , akkor szabad algebrának nevezzük, és alapja van egy gyűrűn . Ha egy algebrának véges alapja van, akkor az algebrát véges dimenziósnak mondjuk. $A$ $K$ $K$ $A$ $A$

Ha egy mező , akkor definíció szerint az -algebra egy vektortér felett , és ezért van alapja . $K$ $K$ $K$

A véges dimenziós algebra alapját általában jelöli . Ha az algebrának van mértékegysége , akkor általában az egység szerepel a bázisban, és annak feltételezik . Ha az algebrának véges bázisa van, akkor az algebrában lévő szorzat könnyen visszaállítható a szorzótáblák alapján: $e_{1},\pontok ,e_{n}$ $e$ $e_{0}=e$

e_{i}e_{j}=C_{{ij}}^{k}e_{k}

Ugyanis, ha , , akkor a termék a következőképpen ábrázolható: $a=a^{k}e_{k}$ $b=b^{k}e_{k}$

ab=C_{{ij}}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

A mennyiségeket az algebra szerkezeti állandóinak nevezzük . $C_{{ij}}^{k}\in K$ $A$

Ha az algebra kommutatív, akkor:

C_{{ij}}^{k}=C_{{ji}}^{k}

Ha az algebra asszociatív, akkor:

C_{{ij}}^{k}C_{{ml}}^{j}=C_{{im}}^{j}C_{{jl}}^{k}

Tulajdonságok

A polinomok algebrájából (megfelelően sok változóban) egy mező felett homomorf képként tetszőleges asszociatív-kommutatív algebrát kaphatunk - felett . $K$ $K$

Leképezési algebra

A kommutatív gyűrű feletti algebrát úgy tekinthetjük, mint egy kommutatív gyűrű feletti modult . A kommutatív gyűrűn lévő algebrának egy gyűrű feletti algebrához való leképezését lineárisnak nevezzük, ha: $A$ $K$ $A$ $K$ $f:A\jobbra nyíl B$ $A$ $K$ $B$ $K$

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(ka)=kf(a)

bármely , , . Az algebrából egy algebrába történő lineáris leképezések halmazát a szimbólum jelöli . $a$ $b\in A$ $k\in K$ $A$ $B$ ${\mathcal L}(A;B)$

Egy algebra lineáris leképezését algebrára homomorfizmusnak nevezzük, ha bármelyik esetén, és teljesül a feltétel is: ha az algebráknak és van egy egysége, akkor: $f:A\jobbra nyíl B$ $A$ $B$ $f(ab)=f(a)f(b)$ $a,b\in A$ $A$ $B$

f(e_{A})=e_{B}

Az algebra homomorfizmusainak halmazát algebrává a szimbólum jelöli . $A$ $B$ $H(A;B)$

Nyilvánvaló, hogy . $H(A;B)\subseteq {\mathcal L}(A;B)$

Példák

Tábornok:

négyzetmátrix algebrák
polinomiális algebrák
formális hatványsorok algebra

Algebrák a valós számok területén :

Irodalom

Szkornyakov L. A., Shestakov I. P. . fejezet III. Gyűrűk és modulok // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Tudomány , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .

Algebra a gyűrű felett
Méret – 2 teljesítménye	Komplex számok (2-es méret) $\mathbb {C}$ Quaterniók (4-es méret) $\mathbb {H}$ Cayley számok/oktonok/oktávok (8-as méret) $\mathbb O$ Sedenions (16-os méret) $\mathbb S$
Lásd még	Frobenius tétel Hiperkomplex szám Algebra Test képzeletbeli egység