Teljesítmény sorozat

Az egy változót tartalmazó hatványsor a következő alak formális algebrai kifejezése:

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},

amelyben az együtthatók valamilyen gyűrűből származnak . ${a_{n}}$ ${R}$

Hatványsor tér

Az egy változót és az együtthatókat tartalmazó hatványsorok terét jelöli . A térnek egy gyűrű feletti differenciálalgebra szerkezete van ( kommutatív , integrál , egységgel ha igen a gyűrű ). A matematikában gyakran használatos, mivel a formális differenciál-algebrai, sőt funkcionális összefüggések is könnyen reprezentálhatók és megoldhatók benne (lásd a függvénygenerálás módszerét ). Használatakor ezek az összefüggések a sorozat együtthatóinak algebrai egyenletévé alakulnak. Ha ezek megoldódnak, akkor az eredeti probléma formális megoldásáról beszélünk formális hatványsor formájában. ${R}$ $R[[X]]$ $R[[X]]$ ${R}$ ${R}$

Meg van határozva az összeadás, szorzás, formális differenciálás és formális szuperpozíció műveletei . Hadd $R[[X]]$

F(X)=\összeg \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{{n=0} }^{{\infty }}b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}X^{n }.

Akkor:

H=F+G\balra jobbra \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{k+l=n}}a_{k}b_{l}

H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{s=1}}^{n}a_{s}\sum \limits _{{k_{1}+ \dots +k_{s}=n}}b_{{k_{1}}}b_{{k_{2}}}\dots b_{{k_{s}}}

(amíg be kell tartani )

b_{0}=0

H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{{n+1}}

Hatványsorok konvergenciája

Valós vagy komplex együtthatós formális hatványsorból, ha a valós vagy komplex számok mezőjében valamely formális változóhoz valamilyen értéket rendelünk , számsort kaphatunk . Egy számsort akkor tekintünk konvergensnek ( összegezhetőnek ), ha a tagjaiból álló részösszegek sorozata konvergál, és akkor nevezzük abszolút konvergensnek , ha a modulo (normában) felvett részeiből álló részösszegek sorozata konvergál. ${X}$

A konvergencia jelei

A hatványsorokra több tétel is létezik, amelyek konvergenciájuk feltételeit és természetét írják le.

Ábel első tétele : Konvergáljon a sorozategy pontban. Ekkor ez a sorozat abszolút konvergál a körbenés egyenletesen ennek abármely kompakt részhalmazában . $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ ${x_{0}}$ ${|x|<|x_{0}|}$ ${x}$

Ezt a tételt megfordítva azt kapjuk, hogy ha egy hatványsor divergál -ra , akkor minden olyanra divergál , hogy . Ábel első tételéből az is következik, hogy van olyan sugara a körnek (esetleg nulla vagy végtelen), hogy esetén a sorozat abszolút (és egyenletesen a kör kompakt részhalmazain ) konvergál , a esetén pedig divergál. Ezt az értéket a sorozat konvergencia sugarának, a kört pedig konvergenciakörnek nevezzük. ${x=x_{0}}$ ${x}$ ${|x|>|x_{0}|}$ ${R}$ ${|x|<R}$ $x$ ${|x|<R}$ ${|x|>R}$ $R$ ${|x|<R}$

Cauchy-Hadamard képlet : Egy hatványsor konvergencia sugarának értéke (ha van felső határ és pozitív, Hadamard hatványsor tétele ) a következő képletből számítható ki:

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}}\,|a_{n}|^{{1/n}}

(A felső határ meghatározásához lásd a " Részleges sorozathatár " című cikket.) $\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}$

Legyen és két hatványsor konvergenciasugárral és . Akkor $F(x)$ $G(x)$ ${R_{F}}$ ${R_{G}}$

R_{{F+G}}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}

R_{{F\cdot G}}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}

R_{{F'}}\,=\,R_{F}

Ha a sorozat metszéspontja nulla, akkor $G(x)$

R_{{F\circ G}}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}

A sorozatok konvergenciájának kérdése a konvergenciakör határának pontjain meglehetősen bonyolult, és erre nincs általános válasz. Íme néhány tétel egy sorozatnak a konvergenciakör határpontjaiban való konvergenciájáról: ${|x|=R}$

D'Alembert jele : Ha az egyenlőtlenség érvényes és -re $n>N$ $\alpha >1$

\left|{a_{n} \over a_{{n+1}}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)

akkor a hatványsor a kör minden pontjában abszolút és egyenletesen konvergál -ban .

\Sigma \,a_{n}x^{n}

{|x|=R}

x

Dirichlet-jel : Ha egy hatványsor összes együtthatójapozitív, és a sorozatmonoton konvergál nullához, akkor ez a sorozat a kör minden pontjában konvergál, kivéve talán a pontot. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ $a_n$ ${|x|=1}$ ${x=1}$

A hatványsor összege egy komplex paraméter függvényében az analitikus függvények elméletének vizsgálati tárgya . $x$

Lásd még

Változatok és általánosítások

Az n változóból álló hatványsor a következő alak formális algebrai kifejezése:

F(X_{1},X_{2},\pontok ,X_{n})=\sum \limits _{{k_{1},k_{2},\pontok ,k_{n}=0}}^ {{+\infty }}a_{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_ {2}}}\dots X_{n}^{{k_{n}}}

vagy többindexes jelöléssel

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_{{\alpha }}X^({\alpha }}),

ahol egy vektor , egy többindex , egy monom . A változókban és együtthatókban lévő hatványsorok terét jelöli . Meghatározza az összeadás, szorzás, differenciálás műveleteit az egyes változókra vonatkozóan, és -lokális szuperpozíciót. Hadd $x$ $X=(X_{1},X_{2},\pontok ,X_{n})$ $\alpha$ $\alpha =(k_{1},k_{2},\pontok ,k_{n})$ $X^{{\alpha ))$ $X^{{\alpha }}=X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_{2}}}\pontok X_{n}^{{k_{n}}}$ $n$ $R$ $R[[X_{1},X_{2},\pontok ,X_{n}]]$ $n$

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_({\alpha }}X^{{\alpha }}),G(X)=\sum \limits _{{\alpha }}b_ { {\alpha }}X^{{\alpha }},H(X)=\sum \limits _{{\alpha }}c_({\alpha }}X^{{\alpha }}.

Akkor:

H=F+G\Bal jobbra \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=a_{{\alpha }}+b_{{\alpha }}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=\sum \limits _({\beta +\gamma =\alpha }}a_{{\beta }}b_{{\gamma }}

H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{{k_{1},k_{ 2},\pontok ,k_{n}}}=(k_{i}+1)a_{{(k_{1},k_{2},\pontok ,k_{i}+1,\pontok ,k_{ n})}}