Dirichlet jel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. november 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A Dirichlet-próba egy olyan tétel , amely elegendő feltételeket jelez a nem megfelelő integrálok konvergenciájához és a végtelen sorozatok összegzéséhez . Nevét Lejeune Dirichlet német matematikusról kapta .

A Dirichlet-teszt a nem megfelelő integrálok konvergenciájára

Tekintsük a , , intervallumon definiált és függvényeket, amelyeknek szingularitása van (első vagy második típusú) a pontban. Teljesüljenek a következő feltételek: $f$ $g$ $[a; b)$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $b$

egy felső változó korláttal rendelkező integrál mindenre van definiálva, és -ra korlátozódik ; $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $x\in[a; b)$ $[a; b)$
a funkció monoton a és -on . $g(x)$ $[a; b)$ $\lim _{x\to b-}g(x)=0$

Aztán konvergál. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Bizonyíték

Tekintsük egyesekre az integrált ( az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük ). Mivel monoton on -on , integrálható rajta, és így integrálható funkciók termékeként integrálható. $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2))$ $g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$ $f(t)g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$

$f(t)$ — integrálható, — monoton. A második középérték tétel feltételei teljesülnek, és létezik olyan pont , amelyre $g(t)$ $\xi \in [x_{1};x_{2}]$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1} }^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

A függvény a -ra korlátozódik , ami azt jelenti, hogy van olyan, hogy , . Akkor: $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ $[a;b)$ $M\geq 0$ $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M$ $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\ int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t) \,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|+|g( x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\jobb|\leq |g(x_{1})|M+|g( x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ motorikusan nullára hajlik, ezért egyrészt korlátozott, másrészt . Aztán és $g(a)$ $0$ $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

$g(x)\to 0$ , ami definíció szerint azt jelenti

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Ezután ( kisebb vagy egyenlő ) $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepszilon

ami nem más, mint a Cauchy-kritérium egy helytelen integrál konvergenciájára.

A jel arra az esetre is megfogalmazható, amikor a szingularitás pontban van . Legyen , és legyen definiálva . Ebben az esetben a feltételek az alábbiak szerint módosulnak: $a$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \))$ $b\in \mathbb {R}$ $f$ $(a;b]$

az alsó változó korláttal rendelkező integrál mindenre definiálva és -ra korlátozódik ; $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ $x \in (a; b]$ $(a;b]$
$g(x)$ monoton a és . $(a;b]$ $\lim _{x\to a+}g(x)=0$

Aztán konvergál. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Az sem szükséges, hogy . Ha , akkor a konvergencia egyenértékű a konvergenciájával . $a<b$ $a>b$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\, dx$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$

Ha az integrál teljesíti a Dirichlet-kritérium feltételeit, akkor maradékára igaz a következő becslés:

|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi ) |

Itt egy tetszőleges szám az intervallumból, és az a szám, amellyel a felső változóhatárral rendelkező integrált határolja. Ezzel a becsléssel a nem megfelelő integrál értéke a megfelelő integrállal közelíthető, bármilyen előre meghatározott pontossággal. $\xi$ $M$

A Dirichlet-kritérium az Abeli-típusú sorozatok konvergenciájára

Meghatározás (Abel típusú sorozat)

A sorozatot , ahol és a sorozat pozitív és monoton (egy bizonyos helyről indul, legalábbis a szó legtágabb értelmében), Abel típusú sorozatnak nevezzük . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|B_{n}|=\left|\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $\{a_{n}\}$

Tétel (Dirichlet-próba Abeli-típusú sorozatok konvergenciájára)

Teljesüljenek a következő feltételek:

A részösszegek sorozata korlátos, azaz . $B_{n}=\összeg _{{k=1}}^{n}b_{k}$ $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$
$a_{n}\geqslant a_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$ .
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Aztán a sorozat összefolyik. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Az Abeli-sorok konvergenciájának Dirichlet-tesztje analóg az első típusú nem megfelelő integrál konvergenciájára vonatkozó Dirichlet-teszttel.
Könnyen belátható, hogy a váltakozó sorozatok konvergenciájára vonatkozó Leibniz-kritérium ennek a tételnek egy speciális esete, nevezetesen:

\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{{n+1} }\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} ,\quad \lim _{{n\to \infty }}c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+ 1 }\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

a Leibniz-sor konvergenciája a Dirichlet-teszt alapján.

Egy Abeli típusú sorozat maradékának becslése
Tekintsük a sorozatot , és teljesüljenek a Dirichlet-kritérium feltételei. Ekkor a következő becslés történik: . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|r_{n}|=\left|\sum _{{k=n+1}}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$
A Dirichlet-kritérium bizonyítása az Abel-transzformációból következik .

A Dirichlet-kritérium egy nem megfelelő integrál egyenletes konvergenciájára a

Legyen az és függvény definiálva a , halmazon , és feltételezzük, hogy egyes pontok integrálja szingularitást mutat a pontban . Teljesüljenek a következő feltételek: $f$ $g$ $[a;b)\times Y$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ $y\-ban Y$ $b$

a felső változó határértékkel rendelkező integrál mindenre definiálva , és egyenletesen korlátos ; $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ $x\in[a; b)$ $y\-ban Y$ $[a;b)\times Y$
a funkció monoton be van kapcsolva minden egyes betonnál és a . $g(x,y)$ $x$ $[a; b)$ $y\-ban Y$ $g(x,y)\rightrightarrows 0$ $x\to b-$

Ezután egyenletesen konvergál. $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$

Bizonyíték

A bizonyítás szinte teljesen megegyezik a paraméter nélküli integrál esetével. Javítjuk és tovább tekintjük a függvényeket és egy változó függvényeiként . Náluk mindent ugyanúgy csinálunk, mint a paraméter nélküli integrálok bizonyításában, csakhogy mindegyikre ugyanazt vesszük (ezt teljesen korlátoltsággal is megtehetjük). Gyere el $y\-ban Y$ $f(x,y)$ $g(x,y)$ $x$ $M$ $y\-ban Y$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{ 1},y)|

$g(x,y)$ egyenletesen nullára hajlik. Megírjuk az egyenletes konvergencia definícióját:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|< \varepsilon

Akkor $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)| <2M\varepszilon

Elérkeztünk a Cauchy-kritériumhoz egy nem megfelelő integrál egy paraméterrel való egyenletes konvergenciájára.

Lásd még

Ábel jel

Irodalom

A. K. Boyarchuk "Egy összetett változó függvényei: elmélet és gyakorlat" Útmutató a felsőbb matematikáról. T.4 M.: Szerkesztői URSS, 2001. - 352p.

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele