Cauchy radikális jele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Cauchy-féle radikális jel egy számsor konvergenciájának jele :

Ha egy számsorozathoz

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

nemnegatív kifejezésekkel létezik egy , , szám , úgy, hogy valamely számból kiindulva az egyenlőtlenség $q$ $0<q<1$

{\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q

akkor ez a sorozat konvergál; ha valamilyen számból kiindulva

{\sqrt[{n}]{a_{n))}>1

akkor a sorozat szétválik.

Ha , akkor ez kétséges eset, és további kutatásra van szükség. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Ha valamilyen számból kiindulva , és nem létezik olyan , hogy valamennyire , valamilyen számból kiindulva, akkor ebben az esetben a sorozat konvergálhat és divergálhat is. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$

Limit form

Ha van határ

{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))))

akkor a figyelembe vett sorozat akkor konvergál, ha , és ha divergál. $\rho<1$ $\rho >1$

Megjegyzés 1. Ha , akkor a Cauchy-gyökpróba nem ad választ a sorozatok konvergenciájára vonatkozó kérdésre. $\rho=1$

Megjegyzés 2. Ha , de a sorozat felülről a határáig tart, akkor a sorozat eltér. $\rho=1$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n))))$ $\rho$

Bizonyítás

Mindenekelőtt meg kell jegyezni, hogy ha a Cauchy-kritérium teljesül a sorozatra , valamilyen számból kiindulva , akkor a sorozat egy részsorozatát tekinthetjük , csak ebből a számból indulva ki. Egy ilyen részsorozatból álló sorozat konvergál. De akkor az eredeti sorozat is konvergál, hiszen a sorozat kezdeti tagjainak véges száma nem befolyásolja a sorozat konvergenciáját. Ebben az esetben a bizonyítás egyszerűsítése érdekében érdemes elfogadni , azaz elfogadni, hogy a Cauchy-kritérium minden természetes esetén teljesül . ${\displaystyle \{a\))$ $N$ ${\displaystyle \{a\))$ $N-1$ ${\displaystyle \{a\))$ $N=1$ $n$

Legyen igaz az egyenlőtlenség minden természetes számra , ahol . Ezután írhatja a következőt : , , …, , stb. Mivel és , és a sorozat minden tagja nem negatív, az egyenlőtlenségek rendszere a következőképpen írható át: , , …, , és így tovább. Az első egyenlőtlenségeket összeadva azt kapjuk, hogy . Ez azt jelenti, hogy a sorozat negyedik részösszege kisebb, mint egy csökkenő geometriai progresszió kezdeti tagú részösszege . Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege konvergál, ezért a pozitív előjelű sorozatok összehasonlításának kritériuma szerint az eredeti sorozat is konvergál. $n$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $0<q<1$ ${a_{1}}\leq q$ ${\sqrt {a_{2))}\leq q$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q$ $q$ ${\displaystyle \{a\))$ ${a_{1}}\leq q$ ${a_{2}}\leq {q^{2}}$ ${a_{n}}\leq {q^{n}}$ $n$ ${a_{1}}+...+{a_{n}}\leq q+...+{q^{n}}$ $n$ $n$ $q$
Legyen (minden természetes ): akkor írhatunk . Ez azt jelenti, hogy a sorozattagok modulusa nem nullázódik a végtelenben, és így maga a sorozat sem hajlik nullára. Egyik sorozat konvergenciájának szükséges feltétele sem teljesül. Ezért a sorozat eltér egymástól. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\geq 1$ $n$ $a_{n}\geq 1$ ${\displaystyle \{a\))$ ${\displaystyle \{a\))$
Legyen minden természetes . Sőt, nincs olyan , hogy minden természetes . Ebben az esetben a sorozatok konvergálhatnak vagy divergálhatnak. Például mind a sorozat, mind pedig megfelel ennek a feltételnek, és az első sorozat (harmonikus) eltér, a második pedig konvergál. Valójában a sorozat minden természetesre igaz , kivéve a . Ugyanakkor, mivel ez azt jelenti, hogy bármelyik esetén választhatunk olyan számot , hogy egyidejűleg valamilyen számból kiindulva a sorozat minden tagja , ahol , az intervallumban lesz , azaz , . És ez azt jelenti, hogy nincs ilyen , minden természetes . Ezek az argumentumok megismételhetők a második sorban: ugyanez igaz minden , . A második sorozat azonban konvergál. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $n$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}={\left({\frac {1}{n}}\jobbra)^{\frac {1}{n}}}<1$ $n$ $n=1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ ${\displaystyle \{b\))$ ${b_{n}}={\sqrt[{n}]{a_{n}}}$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n>1$ $n>1$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}<1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Példák

1. Sor

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}

konvergál, mivel a Cauchy-tétel gyökpróbája korlátozó alakjának feltétele teljesül

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}

2. Tekintsük a sorozatot

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)}^{{n(n-1)))

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left({\frac {n- 1}{n+1}}\jobbra)}^{{n-1}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left(1-{\frac {2}{n+1} }\right)}^{{n-1}}=e^{{-2}}<1\Rightarrow

a sorozat összefolyik.

Lásd még

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele