Összehasonlító jel

Az összehasonlítás jele két sorozat divergenciájának vagy konvergenciájának egyidejűségére vonatkozó állítás , amely e sorozatok tagjainak összehasonlításán alapul.

Megfogalmazás

Legyen két pozitív sorozat:

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

és

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

Ekkor, ha valamely helyről ( ) kiindulva teljesül a következő egyenlőtlenség: $n>N$

0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}

akkor a sorozatok konvergenciája magában foglalja a konvergenciáját . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Vagy ha a sorozat eltér, akkor eltér és . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Bizonyítás

Jelöljük a sorozat részösszegeit . Az egyenlőtlenségekből az következik, hogy tehát a korlátosság korlátoltságot , a korlátosság pedig határtalanságot von maga után . Az attribútum érvényessége a konvergenciakritériumból következik $\sigma _{n}$ $\sum b_{k}$ $(*)$ $0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.$ $(\sigma _{n})$ $(s_{n}),$ $(s_{n})$ $(\sigma _{n}).$ $\sum b_{k}.$

Kapcsolatok összehasonlításának jele

Ezenkívül az összehasonlítás jele kényelmesebb formában is megfogalmazható - kapcsolatok formájában.

Megfogalmazás

Ha a szigorúan pozitív sorozat tagjaira és , valahonnan ( ) kiindulva , a következő egyenlőtlenség teljesül: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $n>N$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{{n+1}}}{b_{n}}}

akkor a sorozatok konvergenciája konvergenciát , a divergencia pedig divergenciát jelent . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Bizonyítás

Az egyenlőtlenségeket megszorozva kapjuk $k=1,2,...,n-1$

{\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},

vagy

a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.

Továbbá elegendő az összehasonlítási kritériumot alkalmazni pozitív sorozatokra és (és figyelembe venni, hogy az állandó tényező nem befolyásolja a konvergenciát). $\sum a_{k}$ $\sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}$

Határösszehasonlítási kritérium

Mivel meglehetősen nehéz feladat megbízhatóan megállapítani ennek az egyenlőtlenségnek az érvényességét bármely n-re, a gyakorlatban az összehasonlítási kritériumot általában korlátozó formában használják.

Megfogalmazás

Ha és vannak szigorúan pozitív sorozatok és $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c

akkor esetén a konvergencia konvergenciát , a divergencia esetében pedig a divergenciát jelenti . $0\leqslant c<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $0<c\leqslant \infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Bizonyítás

Abból tudjuk, hogy mindenre létezik olyan, hogy mindenre van , vagy ami ugyanaz: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ $\varepsilon > 0$ $n_{0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0))$ $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon

{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))

Mivel , elég kicsinek vehetjük ahhoz, hogy pozitívak legyünk. De akkor , és a fent leírt összehasonlítási kritérium szerint, ha konvergál, akkor konvergál és . $c>0$ $\varepsilon$ $c-\varepsilon$ $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ $\sum _{n}a_{n}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$

Hasonlóképpen , majd ha konvergál, akkor konvergál és . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$ $\sum _{n}a_{n}$

Így vagy mindkét sorozat konvergál, vagy mindkettő divergál.

Irodalom

Yu. S. Bogdanov – Előadások a matematikai elemzésről – 2. rész – Minszk – BSU Kiadó. V. I. Lenin - 1978.
G. M. Fikhtengolts. Sorozat-összehasonlítási tételek // A matematikai elemzés alapjai. - Szentpétervár. : Lan, 2001. - T. 2. - S. 17-19. — 464 p. - ISBN 5-8114-0191-4 .

Linkek

http://www.math24.ru/comparison-tests.html

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele