Dini jel

A Dini -teszt a Fourier-sor pontszerű konvergenciájának tesztje. Annak ellenére, hogy a függvény Fourier-sora a -norma értelmében konvergál hozzá , egyáltalán nem kell pontszerűen konvergálnia hozzá (még folytonos függvény esetén sem ). Mindazonáltal bizonyos további feltételek mellett (például abban az esetben, ha a függvény sima , vagy legalábbis kielégíti a Hölder- vagy Lipschitz -feltételt valamilyen pozitív kitevővel) pontszerű konvergencia mégis megtörténik. $L_2([-\pi,\pi])$ $L_{2}$

A Fourier-sorok konvergenciája egy adott pontban a függvény lokális tulajdonsága: ha két függvény egybeesik a pont valamelyik szomszédságában , akkor a Fourier-sorok ebben a pontban egyidejűleg konvergálnak vagy divergálnak. $t$

A Dini-teszt nagyon általános feltételt állít fel az ilyen konvergenciára. Nevét Ulysses Dini olasz matematikusról kapta .

Dini jel

Beállítva $\delta>0$

$\omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{{s:|st|\leqslant \delta }}|f(t)-f(s)|$ .

( függvény folytonossági modulusa egy pontban ). $f$ $t$

Ha a függvény kielégíti a feltételt $f$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{f}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$ ,

akkor a pontban lévő Fourier-sora a -hoz konvergál . $t$ $f(t)$

Megjegyzés. A Dini-teszt feltételei teljesülnek, különösen akkor, ha

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant C\left({\frac 1({\mathop {{\mathrm {ln)))){\frac 1\delta ))}\jobb)^{ \gamma},$

ahol (Ez sokkal gyengébb feltétel, mint bármelyik Hölder-feltétel). Nem tudod elviselni . $\gamma >1$ $\gamma=1$

Módosított Dini jel

A Dini-kritérium módosítása arra az esetre is érvényes, ha a függvénynek a pontban megszakadása van , de ennek ellenére az intervallumokra korlátozódik, és kiterjeszthető a Dini-kritériumot kielégítő függvényekre. $f$ $t$ $(t-\varepszilon ,t)$ $(t,t+\varepszilon )$

Legyen néhány szám. Beállítva $f_{+},f_{-}$ $\delta>0$

$\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t,t+\delta )}}|f(s)- f_{+}|$ ,

$\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t-\delta ,t)}}|f(s) -f_{-}|$ .

Ha a számok és a függvény olyan, hogy $f_{+}$ $f_{-}$ $f$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

akkor a függvény Fourier -sora a pontban a -hoz konvergál . $f$ $t$ ${\frac {f_{+}+f_{-}}2}$

A Dini-Lipschitz jel

Ha egy függvény folytonossági modulusa egy pontban kielégíti a feltételt $f$ $t$

$\omega _{f}(t,\delta )=o\left({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\jobbra)$ ,

akkor a függvény Fourier -sora a pontban konvergál ahhoz $f$ $t$ $f(t)$

Dini és Dini-Lipschitz jellemzőinek pontossága

Ha egy növekvő nemnegatív függvény olyan, hogy $\Omega$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\Omega (\delta )\,d\delta }{\delta }}=+\infty$ ,

akkor van olyan függvény $f$

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant \Omega (\delta )$

minden kellően kicsi , és a függvény Fourier-sora eltér a pontban . $\delta$ $f$ $t$

Létezik egy függvény , amelynek nullánál divergáló Fourier-sora kielégíti a feltételt $f$

$\omega _{f}(0,\delta )=O\left({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\jobb)$ ,

Példa a Dini-teszt alkalmazására: inverz négyzetek összege

Tekintsük a függvény periodikus folytatását az intervallumból : $x^{2}$ $[-\pi ,\pi )$

$f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},$

ahol a göndör zárójelek a szám tört részét jelölik . Könnyű megtalálni ennek a függvénynek a kiterjesztését a Fourier-sorokban:

$f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}3}+4\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n} }{n^{2}}}\cos nx$

Behelyettesítve és behelyettesítve a hagyományos, illetve módosított Dini-próbát a pontszerű konvergencia igazolására, megkapjuk az egyenlőségeket: $x=0$ $x=\pi$

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^ {2}}{12}}$

és

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ .

Lásd még

Dini tétele

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele