Jamet jele

A Jamet jele a számsorok pozitív tagokkal való konvergenciájának jele , amelyet Victor Jamet [1] állapított meg .

Megfogalmazás

A sorozat akkor konvergál, ha a következő egyenlőtlenség teljesül: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

ahol . $\delta>0$

Ha , akkor a sorozat eltér. $J_{n}\leqslant 1$ $n>N$

Bizonyíték [2]

1. Teljesüljön a sorozatra a következő feltétel: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1

Alakítsuk át ezt az egyenlőtlenséget a következőre:

0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\jobbra)^{n}

Mivel mindig lehet találni elég nagyot , hogy: $n>N$

1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0

akkor mehetünk a következő kifejezésre:

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n))\right)\right)

Ha egy Maclaurin-sorozatban alkalmazzuk a függvény kibővítését a maradék taggal Peano alakban, a következőt kapjuk: $\ln(1-x)$

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n))+o\left ({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\jobbra)\jobbra)

Távolítsuk el az első tagot a kitevő alól:

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta ))}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n)) +o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\jobbra)\jobbra)

Most itt alkalmazzuk a Maclaurin sorozat bővítését a függvényhez : $e^{x}$

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 ))))+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^({\delta +1))))\jobbra)$

Ha figyelmen kívül hagyjuk az infinitezimális mennyiséget , és ezt figyelembe véve a következőt kapjuk: $\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^({\delta +1))))\geqslant 0$

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 }}}}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}

Ez utóbbi az összehasonlítás kritériuma szerint azt jelenti, hogy a szóban forgó sorozatok egyidejűleg konvergálnak és divergálnak a sorozattal ( Dirichlet-sor ), amely -ben konvergál, és -nél divergál . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n^{\delta }}}$ $\delta>1$ $\delta \leqslant 1$

2. Teljesüljön a sorozatra a következő feltétel: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1

Alakítsuk át ezt az egyenlőtlenséget a következőre:

a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\jobbra)\jobbra)

Ha a Maclaurin sorozatot kétszer alkalmazzuk a maradék taggal Peano formában, a következőt kapjuk:

a_{n}\geqslant {\frac 1{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2} n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac 1{n}}\right)

Vagyis az összehasonlító teszt szerint a szóban forgó sorozatok eltérnek, mert a sorozat ( harmonikus sorozat ) eltér. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n}}$

Formuláció határértékben

Ha van határ:

J=\lim _{{n\to \infty }}J_{n}

akkor esetén a sorozat konvergál, és esetén pedig divergál. $J>1$ $J<1$

Általánosítás [3]

Legyen adott három pozitív-határozott függvény: , és és határozatlanul növekvőek, és teljesülnek rájuk a következő feltételek: $\mathbb {N}$ $\varphi(n),g(n),f(n)$ $\varphi (n)$ $f(n)$

$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q$
$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {g(n)}{f(n)}}=0$ .

Ekkor, ha a sorozatra , akkor a következő egyenlőtlenség teljesül: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\geqslant p>{\ frac 1{q}}

, akkor a sorozat konvergál.

Ha a sorozatra , akkor a következő egyenlőtlenség teljesül: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\leqslant p<{\ frac 1{q}}

, akkor a sorozat szétválik.

Jegyzetek

↑ V. Jamet. Hiba: a paraméter nincs beállítva a {{ kiadvány }}|заглавие= sablonban // Mathesis. - 1892. - S. 80.
↑ szám
↑ A. V. Antonova Kiegészítés Jamet jeléhez

Irodalom

BP Demidovich Matematikai elemzési feladatok és gyakorlatok gyűjteménye, p. 254.

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele