Kummer jel

A Kummer-kritérium a pozitív tagú számsorok konvergenciájának általános kritériuma, amelyet Ernst Kummer állított fel .

Megfogalmazás

Adjunk meg egy sorozatot és egy tetszőleges numerikus sorozatot úgy , hogy a sorozatok divergálnak. Ekkor a sorozat konvergál, ha a következő egyenlőtlenség mindenre teljesül: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta

ahol . $\delta>0$

Ha a , akkor a sorozat eltér. $K_{n}\leqslant 0$ $n>N$

Bizonyíték [1]

Adott egy sort . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

1. A konvergencia igazolása. Az egyenlőtlenség mindenkire érvényes: $n$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta >0

Ennek az egyenlőtlenségnek mindkét részét megszorozva -vel , akkor kapjuk: $a_{{n+1}}$

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}\geqslant \delta \cdot a_{{n+1}}$ ,

(*)

és azóta : $\delta>0$

c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}>0

c_{n}\cdot a_{n}>c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}

Ez azt jelenti, hogy a sorozat monoton csökkenő, ezért egy véges határ felé hajlik (mivel alulról nulla határolja). Ennek megfelelően a sorozat ) konvergál, ami a sorozat első tagjainak összege $c_{n}\cdot a_{n}$ $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}$ $n$

\sum _{{n=1}}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}})

ami ezért szintén konvergál. De ekkor a (*) egyenlőtlenségből az első összehasonlítási tétel szerint az következik, hogy a sorozat konvergál . Aztán mivel ennek a sorozatnak is konvergálnia kell . $\sum _{{n=1}}^{\infty }\delta a_{{n+1}}$ $a_{n}\leqslant \delta a_{{n+1}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Megjegyzés . A konvergencia bizonyításakor nem használjuk azt a feltételt, hogy a sorozat divergál. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$

2. Az eltérés igazolása. Most hagyjuk , hogy a következő egyenlőtlenség néhányra érvényes legyen: $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\leqslant 0

vagy

c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}\leqslant c_{{n+1}}

Ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát elosztva a következővel: $c_{{n+1}}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{{n}}}}\geqslant {\frac {{\frac {1}{c_{{n+1}}}}{{\frac {1}{c_{n}}}}}}

Mivel a tétel feltételei szerint a sorozatot divergensnek tételezzük fel, akkor az összehasonlítási tétel értelmében ennek a sorozatnak is divergensnek kell lennie . ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Formuláció határértékben

Ha van határ:

K=\lim _{{n\to \infty }}K_{n}

akkor esetén a sorozat konvergál, és esetén pedig divergál. $K>0$ $K<0$

Fontos speciális esetek

Néhány további teszt a sorozatok konvergenciájára a Kummer-teszt speciális esetei meghatározott típusú sorozatokkal : $c_n$

Mikor - d'Alembert jele ; $c_{n}=1$
Mikor - Raabe jele ; $c_{n}=n$
Mikor van Bertrand jele . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete . - M .: Nauka, 1970.

Irodalom

Kummer jel - cikk a Mathematics Encyclopedia-ból

Linkek

Weisstein, Eric W. Kummer tesztje (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele