Schlömilch jele

Megfogalmazás

Ha létezik olyan , hogy valamilyen számból kiindulva a következő egyenlőtlenség teljesül: $\delta>0$ $n$

S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

akkor a sorozat konvergál. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Ha , néhányból kiindulva , akkor a sorozat eltér. $S_{n}\leqslant 1$ $n$

Ha van határ :

{\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }S_{n))

akkor esetén a sorozat konvergál, és esetén pedig divergál. $S>1$ $S<1$

Megjegyzés. Ha , akkor a Schlömilch-kritérium nem ad választ a sorozatok konvergenciájára vonatkozó kérdésre. $S=1$

A Schlömilch-jel lehetővé teszi bizonyos sorozatok konvergenciájának megállapítását, amelyekre a Raabe-jel nem alkalmazható [1] . Például egy sorhoz:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!] ^{2}}}

szomszédos tagok aránya:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n) -1)!!]^{2))}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2)){4^{n}[n!]^{2))}={ \frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}

;

a Raabe jele neki adja:

R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1

és Schlömilch jele:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n \to \infty } 0

Hasonlóképpen, a Bertrand-teszt is megerősíti ennek a sorozatnak a konvergenciáját:

B_{n}={\frac {\ln n}{4n))\xrightarrow {n\to \infty } 0

Schlömilch jele azonban kevésbé érzékeny, mint Bertrand jele. Például nem teszi lehetővé a sorozatok konvergenciájának megállapítását: [1]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2))}

Számára a szomszédos kifejezések aránya:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!] ^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{ 2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}

Raabe jele számára a következőket adja:

R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n))={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n }}\xrightarrow {n\to \infty } 1

valamint a Schlömilch tábla:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 1

Másrészt a Bertrand-teszt egyértelműen jelzi ennek a sorozatnak a konvergenciáját:

B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n))-1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xjobbra nyíl {n\to \infty } 0

↑ 1 2 Franciszek Prus-Wiśniowski, Raabe és Schlömilch tesztjeinek összehasonlítása Archiválva : 2022. január 29. a Wayback Machine -nél , Tatra Mt. Math. Publ. 42 (2009), 119-130

Subir Kumar Mukherjee. 15. Tétel // Első valós elemzési kurzus (angol) . - Kolkata: Academic Publishers, 2009. - P. 190. - 383 p. — ISBN 9788189781903 .

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele