Ermakov jele

Ermakov jele a pozitív tagokkal rendelkező számsorok konvergenciájának jele , amelyet Vaszilij Ermakov állapított meg . Specifikussága abban rejlik, hogy "érzékenységével" minden más jelet felülmúl. Ez a munka a következő cikkekben jelent meg: "A sorozatok konvergenciájának általános elmélete" ("Matematikai Gyűjtemény", 1870 és "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me série, t. III), "A új kritérium a konvergencia és a divergencia végtelen váltakozó sorozataihoz" ("Universitetskie Izvestija of the University of St. Vladimir" 1872-hez).

Megfogalmazás

Hagyja, hogy a funkció végrehajtsa: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (a függvény csak pozitív értékeket fogad el);
a függvény monoton módon csökken, mint . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Ekkor a sorozat konvergál, ha a következő egyenlőtlenség teljesül: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $x\geqslant x_{0}$

\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda

ahol . $\lambda<1$

Ha a , akkor a sorozat eltér. $\varepsilon(x)\geqslant 1$ $x\geqslant x_{0}$

Bizonyíték [1]

1. Álljon fenn a következő egyenlőtlenség:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .

Ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát megszorozzuk és integráljuk a helyettesítéssel : $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt=\int \limits _{{x_{0}}} ^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt ,

innen

(1-\lambda )\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\ int \limits _{{x_{0}}}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{ x }}}f(t)\,dt\jobb)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f ( t)\,dt-\int \limits _{x}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0} } }^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt,

mivel az utolsó zárójelben lévő részfej pozitív. Ezért az egyenlőtlenséget elosztva -vel , a következőt kapjuk: $e^{x}>x$ $1-\lambda$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\ lambda )}}\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt.

Ha mindkét oldalhoz hozzáadjuk az integrált , azt kapjuk $\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}\,f(t)dt$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )))\int \ korlátok _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt=L.

Figyelembe véve, hogy , at $e^{x}>x$ $x\geqslant x_{0}$

\int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.

Mivel az integrál növekszik a növekedéssel, és ennek véges határa van : $x$ $x\to \infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.

Mivel ez az integrál konvergál, a Cauchy-Maclaurin integrálteszt szerint a sorozat is konvergál. $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

2. Most maradjon fenn a következő egyenlőtlenség:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.

Ennek az egyenlőtlenségnek mindkét részét megszorozva és integrálva, a bal oldali helyettesítéssel, a következőt kapjuk: $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt.

Adjuk hozzá az integrált mindkét oldalhoz : $\int \limits _{x}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt$

\int \limits _{{x}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_ {0}}}}}f(t)\,dt=\gamma .

Mert akkor . Most a következőképpen határozzuk meg a sorrendet : $x_{0}<e^{{x_{0}}}$ $\gamma >0$ $\{x_i\}$

x_{i}=e^{{x_{{i-1}}}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots

Ezzel a sorozattal az utolsó egyenlőtlenség a következőképpen írható fel:

\int \limits _{{x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .

Ezt az integrált összegezzük : $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{x_{n}}}f(t)\,dt=\sum _{{i=1}}^{n}\int \limits _{ {x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma,

vagyis ez az integrál korlátlan -ra . Ezért: $n\to\infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{{x\to \infty }}\int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt=+\infty .

Mivel ez az integrál divergál, a Cauchy-Maclaurin integrálteszt szerint a sorozat is divergál. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

Formuláció határértékben

Ha van határ:

\varepsilon =\lim _{{x\to \infty }}\varepsilon (x),

akkor esetén a sorozat konvergál, és esetén pedig divergál. $\varepszilon<1$ $\varepsilon >1$

Általánosítás [2]

Hagyja, hogy a funkció végrehajtsa: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (a függvény csak pozitív értékeket fogad el);
a függvény monoton módon csökken, mint . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Vegyünk egy függvényt , amely: $\varphi (x)>x$

$\varphi (x)>0\;\forall x$ (a függvény csak pozitív értékeket fogad el);
monoton növekszik;
folytonos változója van.

Ekkor a sorozat konvergál, ha teljesül a következő egyenlőtlenség: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\leqslant \lambda <1

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\geqslant 1

akkor a sorozat szétválik.

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete . - M .: Nauka, 1970.
↑ A. D. Polyanin, A. V. Manzsirov. Matematika kézikönyv mérnökök és tudósok számára. - 2006. - S. 340. - 1544 p. - ISBN 978-1420010510 .

Irodalom

Ermakov-jel - cikk a matematikai enciklopédiából

Linkek

Weisstein, Eric W. Ermakoff tesztje (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele