Harmonikus sorozat

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Harmonikus sorozat - végtelen számú tag összege a természetes sorozat egymást követő számainak reciproka :

\sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

A sorozatot harmonikusnak nevezik , mert „harmonikusokból” áll : a hegedűhúrból kivont harmónia az eredeti húrhosszúságú húr által előállított alaphang [1] . Ezenkívül a sorozat minden tagja a másodiktól kezdve két szomszédos tag harmonikus középértéke . $k$ ${\frac {1}{k))$

Egy sorozat első n tagjának összegei (részösszegek)

A sorozat egyes tagjai általában nullára rúgnak, de összege eltér. A harmonikus sorozat n első tagjának részösszegét n- edik harmonikus számnak nevezzük :

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

A harmónikus szám és a természetes logaritmus közötti különbség az Euler-Mascheroni állandóhoz konvergál . $n$ $n$ $\gamma =0{,}5772...$

A különböző harmonikus számok különbsége soha nem egész szám, és a , kivételével egyetlen harmonikus szám sem egész szám: [2] . $H_{1}=1$ $\forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N}$

A részösszegek néhány értéke

{\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{ 3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\kb &2{, }083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{mátrix}}

{\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363} {140}}&\kb. &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\kb. &2{,}718\\\\H_{10^{ 3}}&\kb. &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\kb. &14{,}393\end{mátrix}}

Euler-képlet

1740 -ben Euler aszimptotikus kifejezést kapott a sorozat első tagjainak összegére : $n$

{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n))

ahol az Euler-Mascheroni állandó és a természetes logaritmus . $\gamma =0{,}5772...$ $\ln$

Értékben tehát nagyra $n\jobbra \infty$ $\varepsilon _{n}\rightarrow 0,$ $n$

H_{n}\approx \ln n+\gamma

- Euler-képlet a harmonikus sorozat első tagjainak összegére.

n

Példa az Euler-képlet használatára

$n$	$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))$	$\ln n+\gamma$	$\varepsilon_{n}$ , (%)
tíz	2.93	2.88	1.7
25	3.82	3.80	0.5

Pontosabb aszimptotikus képlet a harmonikus sorozatok részösszegére:

H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^ {4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{ \infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},

hol vannak a Bernoulli-számok .

B_{{2k}}

Ez a sorozat eltér, de a számítási hiba soha nem haladja meg az első eldobott tag felét .

A sorozat eltérései

A felharmonikus sorozat divergál : de nagyon lassan (ahhoz, hogy a részösszeg meghaladja a 100-at, a sorozat kb. 10 43 elemére van szükség). $s_{n}\rightarrow \infty$ $n\rightarrow \infty ,$

A harmonikus sorozatok divergenciáját a következő teleszkópos sorozattal való összehasonlítással lehet kimutatni , amelyet logaritmus felvételével kapunk : $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e$

v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)<{\frac {1}{n} }.

Ennek a sorozatnak a részösszege nyilvánvalóan egyenlő a következővel: Az ilyen részösszegek sorozata eltér; ezért értelemszerűen a teleszkópos sorozat divergál, de ekkor a sorozatok összehasonlításának kritériumából következik, hogy a harmonikus sorozat is divergál. $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).$

Bizonyítás részösszegek sorozatának határértékében [3]

Tekintsük a sorozatot Mutassuk meg, hogy ez a sorozat nem fundamentális , azaz becsüljük meg a különbséget Legyen Akkor Ezért ez a sorozat nem alapvető, és a Cauchy-kritérium szerint eltér. Aztán értelemszerűen a sorozat is szétválik. $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$ $\exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_ {n}\right\vert \geq \varepsilon .$ $\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p} }\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.$ $p\doteq n.$ $\forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2)).$

Oresme bizonyítéka

A divergenciát bizonyíthatjuk, ha a harmonikus sorozatot összehasonlítjuk egy másik divergens sorozattal, amelyben a nevezők kettő hatványára teljesednek ki. Ezt a sorozatot csoportosítják, és egy harmadik sorozatot kapunk, amely eltér:

{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}} \right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac { 1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\jobbra]+\balra[{\frac {1}{9}}+\cdots \jobbra ]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 4}}\jobbra]+\balra[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{ 8}}\jobbra]+\balra[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1} {2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}

(A konvergens sorozatok csoportosítása mindig konvergens sorozatot ad, ami azt jelenti, hogy ha a csoportosítás után a sorozat divergens, akkor az eredeti sorozat is divergens.)

Ez a bizonyíték Nicholas Orem középkori tudósé (1350 körül).

Kapcsolódó sorozat

Általánosított harmonikus sorozat

Az általánosított harmonikus sorozatot ( a Dirichlet sorozat speciális esete ) sorozatnak nevezzük [4]

\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{ \frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+ \cdots

Ez a sorozat a [4] -nél tér el és konvergál . $\alpha \leqslant 1$ $\alpha >1$

Az általánosított harmonikus rendsor összege megegyezik a Riemann zéta függvény értékével : $\alpha$

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )

Páros számok esetén ez az érték kifejezetten pi -ben van kifejezve - például inverz négyzetek sorozatának összege . De már α =3 esetén is az értéke ( az Apéry-állandó ) analitikailag ismeretlen. $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

A harmonikus sorozatok divergenciájának másik példája lehet a reláció $\zeta (1+{\frac {1}{n)))\sim n.$

Váltakozó sorozatok

Ellentétben a harmonikus sorozattal, amelyben minden kifejezést a „+” jellel veszünk, a sorozat

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5 }}\,-\,\cdots

a Leibniz-teszt szerint konvergál . Ezért egy ilyen sorozat feltételes konvergenciájú . Összege megegyezik 2 természetes logaritmusával :

1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\ ,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.

Ez a képlet a Mercator-sorozat , azaz a természetes logaritmus Taylor -sorának egy speciális esete.

Hasonló sorozat származtatható a Taylor sorozatból az arctangensre :

\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\ ,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \; \;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.

Ezt az összefüggést Leibniz sorozatnak nevezik .

Véletlenszerű harmonikus sorozat

2003-ban [5] [6] egy véletlen sorozat tulajdonságait tanulmányozta

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n)),

ahol független , azonos eloszlású valószínűségi változók , amelyek a +1 és -1 értékeket azonos ½ valószínűséggel veszik fel. Megmutattuk, hogy ez a sorozat 1 valószínűséggel konvergál , és a sorozat összege egy érdekes tulajdonságokkal rendelkező valószínűségi változó . Például a valószínűségi sűrűségfüggvény +2 vagy -2 pontban számított értéke a következő: $s_{n}$

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …,

⅛-től kevesebb, mint 10 −42 .

"Vékonyított" harmonikus sorozat

Lásd a Kempner sorozatot

Ha egy olyan harmonikus sorozatot tekintünk, amelyben csak olyan tagok maradtak, amelyek nevezői nem tartalmazzák a 9-es számot, akkor kiderül, hogy a fennmaradó sorozatok konvergálnak, és összege kisebb, mint 80 [7] . Később találtak egy pontosabb becslést, a Kempner-sor konvergál ( A082838 szekvencia az OEIS -ben ). Sőt, bebizonyosodott, hogy ha elhagyjuk azokat a kifejezéseket, amelyek nem tartalmaznak előre kiválasztott számjegysorozatot, akkor a kapott sorozatok konvergálnak. Ebből téves következtetést lehet levonni az eredeti harmonikus sorozatok konvergenciájára, ami nem igaz, hiszen a szám számjegyeinek növekedésével egyre kevesebb tagot vesznek fel a „ritkított” sorozatok összegére. Vagyis végül a harmonikus sorozatok összegét alkotó tagok túlnyomó többségét eldobjuk, hogy ne lépjük túl a felülről határoló geometriai haladást. $22{,}92067661926415034816$ $n$

Jegyzetek

↑ Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. Az informatika megalapozása. — M.: Mir; BINOMIÁLIS. Tudáslaboratórium, 2006. - S. 47. - 703 p. ISBN 5-03-003773-X
↑ Harmonikus szám – a Wolfram MathWorldtől . Letöltve: 2010. március 6. Az eredetiből archiválva : 2013. május 16.. (határozatlan)
↑ Kudryavtsev N.L. Előadások a matematikai elemzésről. - 2013. - S. 35.
↑ 1 2 Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematika kézikönyve mérnökök és felsőoktatási intézmények hallgatói számára. M.: Tudomány. Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1981, 718 p.
↑ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, 2003. május
↑ Schmuland előnyomata a Random Harmonic Seriesről . Letöltve: 2010. március 6. Az eredetiből archiválva : 2011. június 8.. (határozatlan)
↑ Nick matematikai rejtvényei: 72. megoldás . Hozzáférés dátuma: 2010. március 6. Az eredetiből archiválva : 2010. szeptember 28. (határozatlan)

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor