Mértékbeli konvergencia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A mértékbeli (valószínűségi) konvergencia a funkcionális elemzésben , a valószínűségszámításban és a kapcsolódó tudományágakban a mérhető függvények ( valószínűségi változók ) egyfajta konvergenciája egy téren egy mértékkel ( valószínűségi tér ).

Definíció

Legyen szóköz mértékkel. Legyenek ezen a téren mérhető függvények. Egy függvénysorozatról azt mondjuk , hogy mértékében konvergál egy függvényhez , ha $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\lpont$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f$

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepszilon\}) = 0

Megnevezés: . $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$

Valószínűségelmélet szempontjából, ha egy valószínűségi teret adott valószínűségi változókkal definiáltunk , akkor azt mondják, hogy valószínűségben konvergál ahhoz, ha $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X_n,X,\; n=1,2,\lpont$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $x$

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0

Megnevezés: . $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$

Megjegyzés

A mértékbeli (valószínűségi) konvergencia meghatározása általánosítható leképezésekre ( véletlenszerű elemekre ), amelyek tetszőleges metrikus térben vesznek fel értékeket .

A konvergencia tulajdonságai mértékben

Tétel (Riess F.): Ha egy függvénysorozat mértékében konvergál -hoz , akkor van egy részsorozata , amely szinte mindenhol -hoz konvergál . $f_n$ $f$ $f_{n_{k}}$ $f$ $\mu$

Tétel (a mérték konvergenciájának kritériuma): Ha a mérték véges, akkor egy függvénysorozat akkor és csak akkor konvergál mértékben, ha a sorozat bármely részsorozatához létezik olyan részsorozat, amely szinte mindenhová konvergál. $f_n$ $f$ $f_n$ $f$

Ha a függvénysorozat mértékében konvergál a , és -hez , ahol , akkor , és -hez konvergál . $f_n$ $f$ $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$ $g \in L^p,\; p \geqslant 1$ $f_n, f \in L^p$ $f_n$ $f$ $L^{p}$

Ha egy véges mértékû térben egy függvénysorozat -majdnem mindenhol -hoz konvergál , akkor mértékében is konvergál. Ennek fordítva általában nem igaz. $f_n$ $\mu$ $f$

Ha egy függvénysorozat k -ban konvergál , akkor mértékében is konvergál. Ennek fordítva általában nem igaz. $f_n$ $L^{p}$ $f$

Ha a valószínűségi változók sorozata valószínűségében konvergál -hoz , akkor konvergál -hoz és eloszlásában . $X_n$ $x$ $x$
Ha egy valószínűségi változók sorozata valószínűség szerint konvergál -hoz , akkor bármely folytonos függvényre igaz, hogy . Ez az állítás több változó bármely folytonos függvényére igaz, különösen $X_n$ $x$ $f(x)$ $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$ $X_{n}+Y_{n}\-X+Y,n\to \infty$