Leibniz sorozat

A Leibniz sorozat egy váltakozó sorozat , amelyet Leibniz német matematikusról neveztek el, aki tanulmányozta (bár ez a sorozat korábban ismert volt):

1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac { 1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}} +{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1} }.

Ennek a sorozatnak a konvergenciája azonnal következik a váltakozó sorozatokra vonatkozó Leibniz-tételből . Leibniz kimutatta, hogy egy sorozat összege egyenlő a Ez a felfedezés mutatta meg először, hogy az eredetileg a geometriában meghatározott szám valójában egy univerzális matematikai állandó ; a jövőben ez a tény folyamatosan újabb megerősítésekre talált. ${\frac {\pi }{4}}.$ $\pi$

Konvergencia ráta

A Leibniz-sorozat rendkívül lassan konvergál. Az alábbi táblázat szemlélteti a konvergencia mértékét egy sorozathoz szorozva 4-gyel. $\pi$

n ( a sorozat tagjainak száma)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (részösszeg, a helyes karakterek feketével vannak kiemelve)	Relatív pontosság
2	2,666666666666667	0,848826363156775
négy	2,895238095238095	0,921582908570213
nyolc	3,017071817071817 _	0,960363786700453
16	3,079153394197426 _	0,980124966449415
32	3,1 10350273698686	0,990055241612751
64	3,1 25968606973288	0,995026711499770
100	3,1 31592903558553	0,996816980705689
1000	3,14 0592653839793	0,999681690193394
10 000	3,141 492653590043	0,999968169011461
100 000	3,1415 82653589793	0,999996816901138
1 000 000	3,14159 1653589793	0,999999681690114
10 000 000	3,141592 553589793	0,999999968169011
100 000 000	3,1415926 43589793	0,999999996816901
1 000 000 000	3,14159265 2589793	0,999999999681690

Történelem

A Leibniz-sorozat könnyen megszerezhető az arctangens Taylor-sorozattá való kiterjesztésével [1] :

\operátornév{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

A Leibniz sorozatot kapjuk. $x=1,$

Az arctangens Taylor-sorozatát először Madhava indiai matematikus fedezte fel Sangamagramából , a Kerala Csillagászati és Matematikai Iskola alapítója (XIV. század). Madhava a [2] [3] sorozatot használta a szám kiszámításához . A fent látható Leibniz-sorozat azonban rendkívül lassan konvergál, így Madhava egy sokkal gyorsabb konvergens sorozatot tett és kapott [4] : $\pi$ $x=1,$ $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}- {\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\pontok \jobbra).

Az első 21 tag összege adja az értéket , és az utolsó kivételével minden előjel helyes [5] . $3{,}14159265359$

Madhava és tanítványai munkásságát a 17. századi Európában nem ismerték, az arctangens kiterjesztését James Gregory (1671) és Gottfried Leibniz (1676) egymástól függetlenül fedezte fel újra. Ezért egyes források azt javasolják, hogy ezt a sorozatot „Madhava-Leibniz sorozatnak” vagy „Gregory-Leibniz sorozatnak” nevezzék. Gregory azonban nem kapcsolta össze ezt a sorozatot a számmal $\pi.$

A konvergencia gyorsulása

A Leibniz-sorozat másik módosítása, amely gyakorlatilag számításra alkalmassá teszi, a sorozat tagjainak páronkénti egyesítése. Ennek eredményeként a következő sort kapjuk: $\pi$

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1} {4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3))).

A számítások további optimalizálásához alkalmazhatja az Euler-Maclaurin képletet és numerikus integrációs módszereket .

Lásd még

harmonikus sorozat

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 401.
↑ Paplauskas A. B. A végtelen sorozatok pre-newtoni korszaka. I. rész // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka, 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 .
↑ CT Rajagopal és MS Rangachari. A középkori keralesei matematika kiaknázatlan forrásáról (angol) // Archive for History of Exact Sciences : folyóirat. - 1978. - június ( 18. köt. ). - 89-102 . o . - doi : 10.1007/BF00348142 .
↑ A mindenütt jelenlévő "pi" szám, 2007 , p. 47.
↑ R. C. Gupta. Madhava és más középkori indiai pi értékei // Math . Oktatás. - 1975. - 1. évf. 9 , sz. 3 . -P.B45 - B48 .

Irodalom

Zsukov A. V. A mindenütt jelenlévő „pi” szám. - 2. kiadás - M . : LKI Kiadó, 2007. - 216 p. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 2. - 864 p. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Gregory Series (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor