Kerala Csillagászati és Matematikai Iskola

A Kerala Csillagászati és Matematikai Iskola egy tudományos iskola, amely Indiában a 14-17. században létezett, és jelentős mértékben hozzájárult a csillagászathoz és a matematikához .

Történelem

Észak-India muszlim hódítása után a 11. században ( Mahmud Ghazni ) az indiánok tudományos tevékenységének központja a déli Kerala tartományba helyeződött át . Az iskola alapítója a Sangamagrama Madhava volt . A Kerala iskola egyéb kiemelkedő tudósai közé tartozik:

Wataseri Parameswara
Damodara
Nilakanta Somayaji
Jyestadeva

Az iskola utolsó képviselői Achyuta Pisharati és Narayana Bhattatiri voltak a 17. században . A keralaiak szanszkrit nyelvű értekezésekben ( siddhantas ) tették közzé eredményeiket , és legtöbbször bizonyíték nélkül, gyakran versben mutatták be őket.

Keralában a kutatások meghatározó területe a csillagászat volt , de fontos matematikai felfedezések születtek a csillagászati problémák megoldásában. Konkrétan, mivel két évszázaddal megelőzték az európai matematikusokat, az iskola tudósai elérték a trigonometrikus függvények végtelen hatványsorokká való kiterjesztését [1] . Európában vívmányaik sokáig ismeretlenek maradtak, és csak a 19. században fedezték fel a történészek [2] .

Tudományos eredmények

Csillagászat

A keralai iskola csillagászai nagy pontossággal mérték meg a napéjegyenlőség precessziójának nagyságát , valamint az év hosszát, a holdhónapot és más csillagászati állandókat.

1500-ban Nilakanta Somayaji a Tantrasangraha című művében az Aryabhata által korábban leírt világrendszer módosítását javasolta . Aryabhatavahyaz című művében, az Aryabhatya kommentárjában olyan modellt javasolt, amelyben a Merkúr, a Vénusz, a Mars, a Jupiter és a Szaturnusz bolygók keringenek a Nap körül, amely viszont a Föld körül [3] . Ez a geo-héliocentrikus rendszer hasonlít Tycho Brahe 16. század végén javasolt rendszerére. A keralai iskola csillagászainak többsége elfogadta modelljét.

Matematika

A keralai iskola, mint minden indiai matematika, észrevehető számítási torzítással rendelkezett. Például a tudósok folyamatosan azon dolgoztak, hogy egyre nagyobb pontossággal számítsanak ki egy számot . $\pi$ Csillagászati számításokhoz először sikerült megtalálniuk a trigonometrikus és egyéb függvények végtelen sorozatokká való kiterjesztését. Nem volt általános elmélet az ilyen terjeszkedésekről, és nem történt további előrelépés a matematikai elemzés irányába a Keralák körében.

Végtelen sorok vannak megadva a négy Kerala Siddhantasban [1] :

"Tudományos kézikönyv" ( Tantrasangraha ), a Nilakanta kiadó.
"A cselekvés technikája" ( Karanapaddhati ).
"Fénylő gyöngysor" ( Sadratanamala ).
A "magyarázó kommentár" ( Yukti-bhasha ) a Tantrasangraha kommentárja .

A trigonometrikus függvények mellett a sziddhantok egy algebrai tört kiterjesztését is tartalmazzák, amelyet azonban Ibn al-Khaytham (XI. század) ismer [4] [5] :

{\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\pontok ,

|x|<1

A keralaiak trigonometrikus függvényeinek kiterjesztését valószínűleg Madhava szerezte meg , de először Nilakanta „ Tantrasangraha ” értekezésében jelentek meg, és a modern jelölésben a következő formájúak voltak : [2] [6] :

r\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{ \frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5 }}{x^{5}}}-\cdots ,

ahol

y\leqslant x.

r\sin {\frac {x}{r}}=xx\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\ cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4) r^{2}}}-\cdot

r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^ {2}}}-r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{( 4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,

A -val a sorozatok leegyszerűsödnek, és általánosabb formát öltenek: $r=1$

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Ezen képletek megszerzéséhez egy körív egyenesítését végezték el [7] [1] . Európában az arctangens sorozatot először James Gregory adta ki 1671-ben, a szinusz és koszinusz sorozatot pedig Isaac Newton 1666-ban.

Az arctangens sorozatából könnyen kaphatunk [2] egy sorozatot a szám $\pi$ kiszámításához :

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \lpont

Ez a sorozat lassan konvergál, ezért a gyakorlati számításokhoz a [2] alakra konvertálják :

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{ 5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots

Ahogy Nilakanta kiszámolta, a Keralák ezekből a sorozatokból is meglehetősen pontos közelítéseket kaptak a számokról törtek formájában. $\pi \approx 3{,}141592653.$ $\pi$

A keralai iskola további matematikai eredményei közül megemlíthetjük, hogy Nilakanta magabiztosan állította, hogy a kör kerülete összemérhetetlen az átmérőjével, vagyis mai szóhasználattal a szám irracionális [1] . $\pi$

Lásd még

Irodalom

A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Bakhmutskaya E. Ya. Hatványsorozat a sint és a költségek számára a 15.–18. századi indiai matematikusok munkáiban // Történeti és matematikai kutatás . - M. : Fizmatgiz, 1960. - 13. sz . - S. 325-334 .
Volodarsky AI esszék a középkori indiai matematika történetéről. Librocom, 2009, 184. o. (Fizikai és matematikai örökség: matematika). ISBN 978-5-397-00474-9 .
Paplauskas AB A végtelen sorozatok pre-newtoni korszaka. I. rész // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka, 1973. - Szám. XVIII . - S. 104-131 .
Bressoud, David. A kalkulust Indiában találták fel? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). - 2002. - 20. évf. 33, 1. sz . — P. 2–13.
Roy, Ryan. Leibniz, Gregory és Nilakantha sorozat képletének felfedezése // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). - 1990. - 1. évf. 63, 5. sz . - P. 291-306. $\pi$

Linkek

A Kerala Iskola, Európai Matematika és Navigáció , 2001.
Az indiai matematika áttekintése , MacTutor History of Mathematics archívuma , 2002.
Indian Mathematics: Redressing the balance , MacTutor History of Mathematics archívum , 2002.
Keralese mathematics , MacTutor History of Mathematics archívum , 2002.
Keralese matematika lehetséges továbbítása Európába , MacTutor History of Mathematics archívum , 2002.
"Az indiánok 250 évvel megelőzték Newton "felfedezését"" phys.org, 2007

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Paplauskas A. B., 1973 .
↑ 1 2 3 4 Roy, Ranjan . 1990. Leibniz, Gregory és Nilakantha sorozat képletének felfedezése . Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306. $\pi$
↑ Ramasubramanian, K. A bolygómozgás modellje a keralai csillagászok munkáiban // Bulletin of the Astronomical Society of India : folyóirat. — Vol. 26 . - P. 11-31 [23-4] . - .
↑ Singh, AN A sorozatok használatáról a hindu matematikában // Osiris. - 1936. - T. 1 . - S. 606-628 . - doi : 10.1086/368443 .
↑ Edwards, CH, Jr. 1979. A kalkulus történeti fejlődése . New York: Springer-Verlag.
↑ Bressoud, David . A kalkulust Indiában találták fel? The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33 (1): 2-13, 2002.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 202-203.

Kerala Csillagászati ​​és Matematikai Iskola