Irracionális szám

Irracionális számok ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α, δ - e - e π és π

Az irracionális szám olyan valós szám , amely nem racionális , azaz nem ábrázolható közönséges törtként , ahol egész számok vannak , [1] . Egy irracionális szám végtelen, nem ismétlődő tizedesjegyként ábrázolható . ${\frac {m}{n}}$ $m,n$ $n\neq 0$

Más szóval, az irracionális számok halmaza a valós és a racionális számok halmaza közötti különbség . $\mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$

Az irracionális számok (pontosabban az egységnyi hosszúságú szegmenssel össze nem mérhető szakaszok) létezését már az ókori matematikusok is ismerték: ismerték például a négyzet átlójának és oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű a a szám irracionalitása [2] . ${\sqrt {2}}$

Irracionálisak többek között a kör kerületének és átmérőjének aránya (a π szám ), a természetes logaritmus e alapja, a φ aranymetszés , kettő négyzetgyöke [3] [4] [5] . A természetes számok minden négyzetgyöke irracionális , kivéve a tökéletes négyzeteket .

Az irracionális számok végtelen folytonos törtek formájában is felfoghatók . Cantor bizonyításának következménye , hogy a valós számok nem számolhatók meg , de a racionális számok megszámlálhatók, ebből következik, hogy szinte minden valós szám irracionális [6] .

Tulajdonságok

Két pozitív irracionális szám összege lehet racionális szám.
Az irracionális számok olyan Dedekind szakaszokat határoznak meg a racionális számok halmazában, amelyeknek nincs legnagyobb számuk az alsó osztályban, és nincs legkisebb számuk a felsőben.
Az irracionális számok halmaza mindenhol sűrű a valós egyenesen: bármely két különböző szám között van egy irracionális szám.

Algebrai és transzcendentális számok

Minden irracionális szám algebrai vagy transzcendentális . Az algebrai számok halmaza megszámlálható halmaz . Mivel a valós számok halmaza megszámlálhatatlan, az irracionális számok halmaza is megszámlálhatatlan.

Minden valódi transzcendentális szám irracionális; Egy algebrai szám lehet racionális vagy irracionális.

Az irracionális számok halmaza a második kategória halmaza [7] .

Irracionális számok és folytonos törtek

Egy irracionális számot egy végtelen folytonos tört képvisel . Példa, e szám:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].

A kvadratikus irracionalitások periodikus folyamatos törteknek felelnek meg.

\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\pontok ].

Példák

Irracionálisak a következők:

${\sqrt {n}}$ minden természetes , ami nem tökéletes négyzet $n$
Szám $e$ és bármilyen racionális $e^{x}$ $x\neq 0$
$\ln x$ bármilyen pozitív racionális $x\neq 1$
Szám $\pi$ és bármilyen racionális $\pi ^{x}$ $x \ne 0$

Példák az irracionalitás bizonyítására

2 gyöke

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális , azaz törtként van ábrázolva , ahol egy egész szám , és természetes szám . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

Az egyenlőség bal oldalának kanonikus kiterjesztésében a szám páros, a bővítésben pedig páratlan fokozatban lép be . Ezért az egyenlőség lehetetlen. Ezért az eredeti feltevés téves volt, és irracionális szám. $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

A 3-as szám bináris logaritmusa

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális , azaz törtként van ábrázolva , ahol és egész számok . óta , és pozitívnak vehető. Akkor $\log _{2}3$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\log _{2}3>0$ $m$ $n$

\log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2 }3}\Jobbra 2^{m}=3^{n}

De páros, és a kapott egyenlőség jobb oldala páratlan. Ellentmondást kapunk. $2^{m}$

e

Lásd az "e" cikk "Az irracionalitás bizonyítása" című részét .

Történelem

Ókor

Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr. e. 7. században, amikor Manawa (kb. i. e. 750-690) megállapította, hogy egyes természetes számok, például a 2 és a 61 négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen. .

Az irracionális számok, vagy inkább az össze nem mérhető szegmensek létezésének első bizonyítékát általában Metapontus pithagoraszi Hippasusának tulajdonítják (kb. ie 470) [8] . Arról nincs pontos adat, hogy Hippasus melyik szám irracionalitását bizonyította. A legenda szerint a pentagram oldalainak hosszának tanulmányozása közben találta meg [9] [10] . Ezért joggal feltételezhető, hogy ez volt az aranymetszés , mivel ez az átló és az oldal aránya egy szabályos ötszögben.

A görög matematikusok az összemérhetetlen mennyiségek ezt az arányát alogosznak (kifejezhetetlennek) nevezték, de a legendák szerint nem tisztelték Hippasoszt. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, "mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a doktrínát, amely szerint az univerzumban lévő összes entitás egész számokra és azok arányaira redukálható. " Hippasus felfedezése komoly problémát jelentett a pitagorasz matematika számára, megsemmisítve azt a mögöttes feltételezést, hogy a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.

Feodor Kirensky bebizonyította [11] a természetes számok gyökeinek irracionalitását 17-ig (természetesen a pontos négyzetek nélkül - 1, 4, 9 és 16), de itt megállt, mivel az eszköztárában található algebra nem tette lehetővé a bizonyítást. A 17. négyzetgyök irracionalitása. Arról, hogy mi lehetett ez a bizonyíték, a matematikatörténészek számos különböző sejtést fogalmaztak meg. Jean Itard legvalószínűbb [12] javaslata szerint azon a tételen alapult, hogy egy páratlan négyzetszám osztható nyolccal, a maradék eggyel [13] .

Később Cnidus Eudoxus (i. e. 410 vagy 408 - ie 355 vagy 347) kidolgozott egy olyan arányelméletet, amely a racionális és az irracionális összefüggéseket egyaránt figyelembe vette. Ez szolgált alapul az irracionális számok alapvető lényegének megértéséhez. Az értéket nem számnak, hanem entitások megjelölésének kezdték tekinteni, például vonalszakaszok, szögek, területek, térfogatok, időintervallumok - olyan entitások, amelyek folyamatosan változhatnak (a szó mai értelmében). Az értékek ellentmondtak a számoknak, amelyek csak úgy változhatnak, hogy egyik számról a másikra „ugrálnak”, például 4-ről 5-re [14] . A számok a legkisebb oszthatatlan mennyiségből állnak, míg a mennyiségek korlátlanul csökkenthetők.

Mivel mennyiségi értéket nem hasonlítottak össze mennyiséggel, az Eudoxus összemérhető és össze nem mérhető mennyiségeket is lefedett , ha a törtet két mennyiség arányaként, az arányt pedig két tört egyenlőségeként definiálta. Azáltal, hogy eltávolította a mennyiségi értékeket (számokat) az egyenletekből, elkerülte azt a csapdát, hogy egy irracionális mennyiséget számnak kelljen neveznie. Eudoxus elmélete lehetővé tette a görög matematikusok számára, hogy hihetetlen előrehaladást érjenek el a geometriában, megadva számukra a szükséges indokokat ahhoz, hogy összemérhetetlen mennyiségekkel dolgozzanak [15] . Eukleidész " Kezdetek " tizedik könyve az irracionális mennyiségek osztályozásának szentel.

Középkor

A középkort az olyan fogalmak átvétele jellemezte, mint a nulla, a negatív számok, az egészek és a törtszámok, először az indiai, majd a kínai matematikusok. Később csatlakoztak az arab matematikusok, akik elsőként tekintették a negatív számokat algebrai objektumnak (a pozitív számokkal egyenlő jogokkal együtt), ami lehetővé tette a ma algebrának nevezett tudományág fejlődését.

Az arab matematikusok a "szám" és az "érték" ókori görög fogalmait a valós számok egyetlen, általánosabb elképzelésévé egyesítették. Kritikusan fogadták Eukleidész relációkról alkotott elképzeléseit, ezzel szemben kidolgozták az tetszőleges mennyiségek összefüggéseinek elméletét, és kiterjesztették a szám fogalmát a folytonos mennyiségek relációira. Al-Mahani perzsa matematikus (i. e. 800 körül) az Euklidész elemei 10. könyvéhez fűzött kommentárjaiban feltárta és osztályozta a másodfokú irracionális számokat és az általánosabb köbös irracionális számokat. Meghatározta a racionális és irracionális mennyiségeket, amelyeket irracionális számoknak nevezett. Könnyen kezelte ezeket a tárgyakat, de különálló objektumokként okoskodott, például [16] :

A racionális [érték] például 10, 12, 3%, 6% és így tovább, mivel ezeket az értékeket mennyiségileg ejtik ki és fejezik ki. Ami nem racionális, az irracionális, és lehetetlen a megfelelő értéket kimondani vagy számszerűsíteni. Például az olyan számok négyzetgyökei, mint a 10, 15, 20, nem négyzetek.

Ellentétben Euklidész felfogásával, amely szerint a mennyiségek elsősorban vonalszakaszok, Al Mahani az egész számokat és a törteket racionális mennyiségeknek, a négyzet- és kockagyököket pedig irracionálisnak tartotta. Az irracionális számok halmazának aritmetikai megközelítését is bevezette, mivel ő mutatta meg a következő mennyiségek irracionalitását [16] :

egy irracionális mennyiség és egy racionális mennyiség összeadásának eredménye, egy racionális mennyiség irracionálisból való kivonásának eredménye, egy irracionális mennyiség kivonásának eredménye egy racionális mennyiségből.

Abu Kamil egyiptomi matematikus (i.sz. 850 körül - i.sz. kb. 930) találta elsőként elfogadhatónak az irracionális számok másodfokú egyenletek megoldásaként vagy egyenletek együtthatóiként való felismerését - többnyire négyzet- vagy köbgyök formájában is. negyedfokú gyökerekként [17] . A 10. században Al-Hashimi iraki matematikus általános bizonyítékokkal szolgált (nem pedig vizuális geometriai demonstrációkkal) a szorzat, a hányados irracionalitására, valamint az irracionális és racionális számok egyéb matematikai transzformációinak eredményeire [18] . Al-Khazin (i.sz. 900-971) a következő definíciót adja a racionális és irracionális mennyiségre [19] :

Legyen egy adott érték egy adott értékben egy vagy több alkalommal, akkor ez az [adott] érték egy egész számnak felel meg ... Minden olyan érték, amely egyetlen érték fele, harmada vagy negyede, vagy összehasonlítva egyetlen érték, ennek háromötöde, ez a racionális érték. És általában minden mennyiség, amely úgy kapcsolódik az egységhez, ahogyan az egyik szám a másikhoz kapcsolódik, racionális. Ha az érték nem ábrázolható több egységnyi hosszban vagy részként (l / n), vagy több részként (m / n), az irracionális, vagyis nem kifejezhető, kivéve a gyökök segítségével.

Ezen elképzelések közül sokat később az európai matematikusok is átvették, miután a 12. században lefordították az arab szövegeket latinra. Al Hassar, a Maghrebből származó arab matematikus, aki az iszlám öröklési törvényekre specializálódott, a 12. században bevezette a törtek modern szimbolikus matematikai jelölését, amely a számlálót és a nevezőt vízszintes sávval választja el [20] . Ugyanez a jelölés jelent meg Fibonacci műveiben a tizenharmadik században [21] . A XIV-XVI. század folyamán. Madhava a Sangamagramából és a Kerala Csillagászati és Matematikai Iskola képviselői olyan végtelen sorozatokat vizsgáltak, amelyek egyes irracionális számokhoz, például -hez konvergálnak , és kimutatták a trigonometrikus függvények egyes értékeinek irracionalitását is. Jestadeva ezekről az eredményekről számolt be a Yuktibhaza című könyvében. $\pi$

Új idő

A 17-18. században a komplex számok szilárdan meghonosodtak a matematikában , amelynek tanulmányozásához Abraham de Moivre (1667-1754) és Leonard Euler (1707-1783) járult hozzá. Amikor a 19. században a komplex számok elmélete zárttá és világossá vált, lehetővé vált az irracionális számok algebrai és transzcendentális osztályozása (egyben bizonyítva a transzcendentális számok létezését), ezáltal újragondolva Eukleidész irracionális számok osztályozásáról szóló munkáját. 1872-ben Weierstrass , Heine , Cantor és Dedekind művei jelentek meg ebben a témában . Bár Meret már 1869-ben kezdett Heine munkáihoz hasonló megfontolásba, 1872-t tekintik az elmélet születési évének. A Weierstrass-módszert Salvatore Pinkerle fejtette ki teljesen 1880-ban [22] , és Dedekind további hírnevet szerzett a szerző későbbi munkáinak (1888) és Paul Tannery (1894) támogatásának köszönhetően. Weierstrass, Cantor és Heine végtelen sorozatokkal indokolták elméleteiket, míg Dedekind a valós számok halmazának (ma már ún.) Dedekind szakaszaival dolgozott , és minden racionális számot két halmazra osztott bizonyos jellemző tulajdonságokkal.

Az irracionális számokhoz szorosan kapcsolódó folytatólagos törteket (az adott számot reprezentáló folyamatos tört akkor és csak akkor végtelen, ha a szám irracionális) először Cataldi vizsgálta 1613-ban, majd ismét felkeltette a figyelmet Euler munkáiban, és a korai években. XIX. század - Lagrange munkáiban . Dirichlet jelentős mértékben hozzájárult a folytonos törtek elméletének kidolgozásához is. 1761-ben, folytatva a törteket, Lambert kimutatta, hogy ez nem racionális szám, és azt is, hogy és irracionális minden nem nulla racionálisra [23] . Bár Lambert bizonyítása hiányosnak nevezhető, általában meglehetősen szigorúnak tartják, különösen a megírásának idejét tekintve. A Legendre 1794-ben, a Bessel-Clifford függvény bevezetése után kimutatta, hogy az irracionális, ahonnan az irracionalitás triviálisan következik (a racionális szám négyzetével racionális számot adna). $\pi$ $e^{x}$ $\operátornév {tg}x$ $x$ $\pi ^{2}$ $\pi$

A transzcendentális számok létezését Liouville bizonyította 1844-1851-ben. Később Georg Cantor (1873) egy másik módszerrel kimutatta létezésüket, és bebizonyította, hogy a valós sorozat bármely intervalluma végtelenül sok transzcendentális számot tartalmaz. Charles Hermite 1873-ban bebizonyította, hogy e transzcendens, Ferdinand Lindemann pedig 1882-ben ezen eredmény alapján transzcendenciát mutatott be . Lindemann bizonyítását ezután Weierstrass 1885-ben, David Hilbert 1893-ban tovább egyszerűsítette, végül Adolf Hurwitz és Paul Gordan [24] hozta szinte elemi szintre . $\pi$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Racionális szám // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
↑ Történelem, 1970 , 1. kötet, p. 73.
↑ A 15 leghíresebb transzcendentális szám archiválva 2007. október 24-én a Wayback Machine -nél . írta: Clifford A. Pickover . Az URL letöltve 2007. október 24-én.
↑ Irrational Numbers Archivált : 2010. augusztus 29. a Wayback Machine -nél // mathsisfun.com; Az URL letöltve 2007. október 24-én.
↑ Weisstein, Eric W. Irrational Number a Wolfram MathWorld weboldalán . URL letöltve 2007. október 26-án.
↑ Kántor, Georg. Hozzájárulások a transzfinit számok elméletének megalapozásához / Philip Jourdain. - New York: Dover, 1955. - ISBN 978-0-486-60045-1 .
↑ Iljin, Sadovnichy, Sendov, 2006 , p. 64.
↑ Kurt Von Fritz, 1945 .
↑ James R. Choike. A Pentagram és egy irracionális szám felfedezése // The Two-Year College Mathematics Journal :magazin. – 1980.
↑ Kurt Von Fritz, 1945 , p. 242-264.
↑ Történelem, 1970 , T 1. Az ókortól az újkor kezdetéig, p. 74.
↑ A. I. Scsetnyikov. Hogyan bizonyították az ókori görög matematikusok az irracionalitást. Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nál
↑ Jean Itard. Les livres arithmétiques d'Euclide . — Paris: Hermann, 1961. Archiválva : 2015. november 22. a Wayback Machine -nál
↑ Kline 1990, 48. o.
↑ Kline 1990, 49. o.
↑ 1 2 Matvievskaya, 1987 , p. 253–277 [259].
↑ Jacques Sesiano, „Iszlám matematika”, p. 148, Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics (angol) . - Springer , 2000. - ISBN 1-4020-0260-2 . .
↑ Matvievskaya, 1987 , p. 253–277 [260].
↑ Matvievskaya, 1987 , p. 253–277 [261].
↑ Cajori, Florian (1928), A matematikai jelölések története (1. kötet) , La Salle, Illinois: The Open Court Publishing Company p. 269.
↑ ( Cajori 1928 , 89. o.)
↑ Salvatore Pincherle. Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass (olasz) // Giornale di Matemache: diario. - 1880. - P. 178-254,317-320 .
↑ JH Lambert. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes, circulaires et logarithmiques (francia) // Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin: magazin. - 1761. - P. 265-322 . Archiválva az eredetiből 2016. április 28-án.
↑ Gordon, Paul. Transcendenz von e und π // Mathematische Annalen . - Teubner, 1893. - T. 43 . - S. 222-224 . - doi : 10.1007/bf01443647 .

Irodalom

V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 2. fejezet Valós számok//Matematikai elemzés/Szerk. A. N. Tikhonova . -3. kiadás , átdolgozva és további -M.: Prospekt, 2006. - T. 1. - 672 p. —ISBN 5-482-00445-7.
A matematika története az ókortól a 19. század elejéig. Három kötetben / szerk. Juskevics. - M .: Nauka, 1970.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Az eredeti mű 1972-ben jelent meg).
Matvievskaya, Galina. A kvadratikus irracionalitások elmélete a középkori keleti matematikában // A New York-i Tudományos Akadémia évkönyvei : folyóirat. - 1987. - 1. évf. 500 . - doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x .
Kurt von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (angol) // The Annals of Mathematics : folyóirat. – 1945.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4162426-9 J9U : 987007538749205171 LCCN : sh85093213 NKC : 812800

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Irracionális számok
Apéry állandó ( ζ(3) ) Erdős-Borwein állandó ( E ) Feigenbaum állandók Szofomor álom Prímszám állandó (ρ) Műanyag szám (ρ) Kettős logaritmus (ln 2) 2 12. gyöke ( 12 √ 2 ) 2 négyzetgyöke ( √ 2 ) 3 négyzetgyöke ( √ 3 ) 5 négyzetgyöke ( √5 ) Arany arány (φ) Szuper aranymetszés (ψ) Ezüst metszet ( δS ) e π Gelfond állandó ( e π ) Gelfond-Schneider állandó ( 2 √ 2 ) Inverz Fibonacci-állandó (ψ)
transzcendentális Trigonometrikus