Hiperbolikus számok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A hiperbolikus számok vagy kettős számok , parakomplex számok , osztott komplex számok , hiperbolikus típusú komplex számok , az ellenkomplex számok [1] „ a + j b ” formájú hiperkomplex számok , ahol a és b valós számok , sőt j ≠ ±1 . $j^{2}=1,$

Definíció

Algebrai definíció

Bármely hiperbolikus szám ábrázolható valós számok rendezett párjaként. Az összeadás és szorzás a következő szabályok szerint történik: $(x,y).$

(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),

(x,y)\cdot (x',y')=(xx'+yy',xy'+yx').

Az űrlap számait valós számokkal azonosítjuk, majd a megfelelő azonosságok a következő alakot veszik fel: ${\displaystyle(a;0)}$ $j=(0,1).$

(x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y'),

(x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx').

Mátrix ábrázolás

A hiperbolikus számok valós számok mátrixaiként ábrázolhatók , míg a hiperbolikus számok összeadása és szorzása megfelel a megfelelő mátrixok összeadásának és szorzásának:

j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.

Aritmetikai műveletek

Kiegészítés: ${\megjelenítési stílus (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.}$
Kivonás: $(a+bj)-(c+dj)=(ac)+(bd)j.$
Szorzás: $(a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.$
Osztás nullától eltérő osztóval: ${\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{ c^{2}-d^{2}}}j.$

Tulajdonságok

\mathrm {e} ^{jx}=\operátornév {ch} x+j\operátornév {sh} x,

ahol sh és ch hiperbolikus szinusz és koszinusz.

\operátornév {sh} jx=j\operátornév {sh} x

\operátornév {ch} jx=\operátornév {ch} x

A hiperbolikus számok egy kétdimenziós asszociatív - kommutatív algebrát alkotnak a valós számok mezején . A hiperbolikus számalgebra nulla osztókat tartalmaz (azaz z és w nem nulla elemeit úgy, hogy zw = 0 ), ezért a komplex számalgebrától eltérően nem mező. Minden nulla osztó alakja $a\cdot (1\pm j).$

Ha elviszi _ $\alpha =(1+j)/2$ $\beta =(1-j)/2,$

\alpha \beta =0,

\alpha ^{2}=\alpha

és

\beta ^{2}=\beta .

Bármely hiperbolikus szám ábrázolható összegként, ahol és valós számok. Ebben az ábrázolásban az összeadás és a szorzás koordináta szerint történik. $\alpha x+\beta y,$ $x$ $y$

Így a hiperbolikus számok algebrája két valós számmező direkt összegére bontható .

Alkalmazás

A hiperbolikus számokat néha alkalmazzák a relativisztikus kinematikában .

Jegyzetek

↑ S. A. Zsilina. Az ellenszedenionok algebrájának kapcsolati grafikonjai. Tudományos szemináriumok jegyzetei POMI, 482. évfolyam, 1. o. 87-113.

Linkek

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion