Egész szám

Az egész számok a természetes számok halmazának [1] kiterjesztése, amelyet úgy kapunk, hogy nulla és negatív számokat adunk hozzá [2] . Az egész számok figyelembevételének szükségességét az határozza meg, hogy általános esetben lehetetlen egy másik természetes számot kivonni az egyikből - csak kisebb számot vonhat ki egy nagyobbból. A nulla és a negatív számok bevezetése a kivonást ugyanolyan teljes értékű műveletté teszi, mint az összeadást [3] .

A valós szám akkor egész szám, ha decimális ábrázolása nem tartalmaz tört részt (de tartalmazhat előjelet). Példák valós számokra:

Szám: 142857; 0; -273 egész szám. Számok 5½; A 9,75 nem egész szám.

Az egész számok halmazát jelöljük ( német Zahlen - "számok" [4] ). Az egész számok tulajdonságainak vizsgálata a matematikának a számelméletnek nevezett ága . $\mathbb {Z}$

Pozitív és negatív számok

Felépítése szerint az egész számok halmaza három részből áll:

Természetes számok (vagy ennek megfelelően pozitív egész számok). Számláláskor természetes módon keletkeznek (1, 2, 3, 4, 5…) [5] .
A nulla a számmal jelölt szám . Meghatározó tulajdonsága: tetszőleges számra . $0$ $0+n=n+0=n$ $n$
Negatív egész számok .

Negatív számok írásakor ezeket mínuszjellel jelöljük : Minden egész számhoz tartozik egy vele szemben lévő egyedi szám is, amelyet jelölünk, és amelynek tulajdonsága, hogy Ha pozitív, akkor az ellentétje negatív, és fordítva. A nulla ellentétes önmagával [2] . $-1,-2,-3\dots$ $a$ $-a$ $a+(-a)=0.$ $a$

Egy egész szám abszolút értékének nevezzük ezt a számot elvetett előjellel [6] . Kijelölés: $a$ $\left|a\right|.$

Példák:

\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0

Algebrai tulajdonságok

Az egész számok halmazában három alapvető aritmetikai művelet van definiálva: összeadás , összeadás inverze, kivonás és szorzás . A természetes és egész számokra jellemző egy fontos művelet is: osztás maradékkal . Végül az egész számokhoz egy sorrendet adunk meg , amely lehetővé teszi a számok egymással való összehasonlítását.

Összeadás és kivonás

Az alábbi táblázat a [7] összeadás alapvető tulajdonságait szemlélteti bármely egész számra : $ABC$

Ingatlan	Algebrai jelölés
Kommutativitás ( hordozhatóság )	$a+b=b+a$
Aszociativitás ( kompatibilitás )	$a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$
Nulla tulajdonság	$a+0=a$
Ellentétes elem tulajdonság	$a+\left(-a\right)=0$

Egész számok összeadásánál és kivonásánál a következő előjelszabályokat követjük [7] [8] , amelyeket a zárójelek nyitásakor érdemes figyelembe venni:

-\left(-a\right)=a;\ -\left(a+b\right)=-ab;\ -\left(ab\right)=-a+b.

Az egész számok összeadásának szabályai [9] .

Ha azonos előjelű egész számokat ad hozzá, hozzá kell adni azok abszolút értékét, és hozzá kell rendelni a kifejezések előjelét. Példa; . $-14+\left(-28\right)=-42$
Különböző előjelű egész számok összeadásakor össze kell hasonlítani azok abszolút értékét, a nagyobbból ki kell vonni a kisebbet, és az eredményhez hozzá kell rendelni a nagyobb abszolút értékű összegzés előjelét. Példák: . $-4+9=9-4=5;\ -9+4=-\left(9-4\right)=-5$
Az egész számok kivonása mindig végrehajtható, és az eredmény a következő példában található: . $ab$ $a+\left(-b\right).$ $26-51=26+\left(-51\right)=-25$
Geometriailag az összeadás egy számnak a számtengely mentén történő eltolódásaként jeleníthető meg (lásd az ábrát a cikk elején), és pozitív szám összeadása jobbra, negatív szám balra tolódását okozza. Például egy számhoz a hozzáadás azt jelenti, hogy 4 egységgel jobbra tolja el; világosan látni, mi történik . Hasonlóképpen 4 egységgel balra tolva azt kapjuk, hogy . $-3$ $négy$ $+1$ $-3+\left(-4\right)$ $-3$ $-7$
A kivonást hasonló módon lehet megjeleníteni, de ebben az esetben éppen ellenkezőleg, egy pozitív szám kivonása balra, a negatív szám jobbra tolását okozza. Például 7 egységgel tolja el a számhoz , és jobbra tolja el a számhoz . $5-7$ $5$ $-2$ $5-\left(-7\right)$ $12$

Szorzás és hatványozás

A számok szorzását tovább jelöljük, vagy (csak betűjelölések esetén) egyszerűen . Az alábbi táblázat a szorzás [7] alapvető tulajdonságait szemlélteti bármely egész számra : $a,b$ $a\times b$ $ab$ $ABC$

Ingatlan	Algebrai jelölés
Kommutativitás ( hordozhatóság )	$a\times b=b\times a$
Aszociativitás ( kompatibilitás )	$a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c$
egységtulajdon	$a\times 1=a$
Nulla tulajdonság	$a\times 0=0$
A szorzás eloszlása (distributivitása) az összeadás tekintetében	$a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

Az egész számok szorzásakor a [7] [8] jelek szabályait kell követni, amelyeket a zárójelek nyitásakor figyelembe kell venni:

\left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab;\ \left(-a\right)\left(-b\right)=ab

Következmény : az azonos előjelű számok szorzata pozitív, a különböző előjelű számok szorzata negatív.

Az egész számok természetes hatványra emelése ugyanúgy történik, mint a természetes számok esetében:

{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n))

Az egész számok hatványra emelésének tulajdonságai is megegyeznek a természetes számok tulajdonságaival:

\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n};\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n};\quad \ left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}

Ezen a definíción kívül egy nulla fokos konvenciót alkalmaznak: bármely egész számra . $a^{0}=1$ $a.$ $a^{0}a^{n}=a^{0+n}=a^{n},$ $a^{0}=1.$

Rendezettség

$\mathbb {Z}$ egy lineárisan rendezett halmaz . A sorrendet benne a relációk adják:

\dots -2<-1<0<1<2<\dots

Egy egész szám pozitív , ha nagyobb nullánál, negatív , ha kisebb nullánál. A pozitív egész számok természetes számok , és csak azok. A negatív számok a pozitív számok ellentétei. A nulla nem pozitív és nem negatív. Bármely negatív szám kisebb, mint bármely pozitív szám [2] .

Bármely egész számra a következő relációk érvényesek [10] . $a,b,c,d$

Ha , akkor bármelyik lesz . $a<b$ $c$ $a+c<b+c$
Ha és , akkor . $a<b$ $c<d$ $a+c<b+d$
Ha és , akkor . $a<b$ $c>0$ $ac<bc$
Ha és , akkor . $a<b$ $c<0$ $ac>bc$

Két negatív szám összehasonlítására van egy szabály: több az a szám, amelynek abszolút értéke kisebb [10] . Például, . $-6<-5$

Oszthatóság

Felosztás a maradékkal

Az osztási művelet általában nincs definiálva az egész számok halmazán. Például nem oszthat vele - nincs olyan egész szám, amely -vel megszorozva - . De definiálhatja az úgynevezett felosztást egy maradékkal [11] : $3$ $2$ $2$ $3$

Bármilyen egész számhoz (ahol ) van egy egyedi egész számkészlet , hogy , hol

a,b

b\neq 0

q,r

a = bq + r

0\leqslant r<\left|b\right|.

Itt a az osztó , b az osztó , q a (nem teljes) hányados, r az osztás maradéka (mindig nem negatív). Ha a maradék nulla, az osztást egész számnak mondjuk [11] .

Példák

Ha egy pozitív szám maradékával osztunk -vel , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk . Vizsgálat: $a=78$ $b=33$ $q=2$ $r=12$ $78=33\times 2+12.$
Ha egy negatív szám maradékával osztunk -vel , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk . Vizsgálat: $a=-78$ $b=33$ $q=-3$ $r=21$ $-78=33\times (-3)+21.$
Ha egy szám maradékával osztunk -val , akkor a hányadost és a maradékot kapjuk , vagyis az osztás egész számmal történik. Oszthatósági tesztek segítségével gyorsan megtudhatjuk, hogy egy adott szám osztható - e egy (kis) számmal . $a=78$ $b=26$ $q=3$ $r=0$ $a$ $b$

Az összehasonlítás elmélete és az euklideszi algoritmus a maradékkal való osztás műveletén alapul .

Az egész hadosztály. Osztók

A fentiek szerint egy szám osztható (egész szám) egy számmal , ha létezik olyan egész szám , hogy . Szimbolikus jelölés: . Ennek az oszthatóságnak több egyenértékű verbális megfogalmazása is létezik [12] : $a$ $b$ $q$ $a=bq$ $b|a$

$a$ osztható (egész) -vel . $b$
$b$ osztó ( vagy: oszt ). $a$ $b$ $a$
$a$ többszörös . $b$

Minden olyan egész szám , amely nem egyenlő nullával, vagy 4 triviális osztója van: . Ha nincs más osztó, a számot prímnek [13] nevezzük . $n$ $\pm 1$ $1,-1,n,-n$

Két egész szám legnagyobb közös osztójának fogalma , egy egész szám prímtényezőkre való felosztása és az egész számok aritmetikai főtétele gyakorlatilag egybeesik (a lehetséges előjelek figyelembevételével) ezen fogalmak természetes számokra vonatkozó analógjaival [14] .

Egész és valós számok

Vannak gyakorlati problémák, amelyekben egy valós értéket egész számra kell kerekíteni , vagyis a legközelebbi (egyik-másik irányban) egész számra kell cserélni. Mivel a kerekítés sokféleképpen elvégezhető, az " Iverson-szimbólumok " [15] használhatók a pontosításhoz :

\lfloor x\rfloor

- a legközelebb az egész számhoz lefelé ("floor", angol floor , vagy " teljes rész " függvény). Hagyományosan Gauss- vagy Legendre- jelölést is használnak .

x

[x]

E\left(x\right)

\lceil x\rceil

- a legközelebbi az egész számhoz nagyobb irányban ("plafon" funkció, angol plafon ).

x

A problémafelvetés sajátosságaitól függően más módszerekkel is találkozhatunk: kerekítsük a legközelebbi egész számra, vagy vágjuk le a tört részt (a negatívak utolsó opciója eltér az „egész rész” függvénytől). $x$

Az egész és valós számokkal kapcsolatos problémák egy másik osztálya a valós szám közelítése egész számok arányával, azaz egy racionális szám . Bebizonyosodott, hogy bármely valós szám tetszőleges pontossággal racionálisan közelíthető, ilyen közelítésre a legjobb eszköz a folytatásos (folytatásos) törtek [16] .

Történelem

A matematika fejlődése a gyakorlati számolási készségekkel (egy, kettő, három, négy ...) kezdődött, ezért a természetes számok a történelem előtti időszakban keletkeztek homogén, stabil és oszthatatlan objektumok (emberek, birkák, stb .) véges halmazának idealizálásaként . napok stb.). Az összeadás olyan fontos események matematikai modelljeként jelent meg, mint több halmaz (csorda, zsák stb.) egyesítése, a kivonás pedig éppen ellenkezőleg, a halmaz egy részének szétválását tükrözte. A természetes számok szorzása úgyszólván kötegösszeadásként jelent meg: 3 × 4 a „ 3-szor 4” összeget jelentette, azaz 4 + 4 + 4 . A műveletek tulajdonságait és összefüggéseit fokozatosan fedezték fel [17] [18] .

A természetes számok terjeszkedése felé tett kezdeti lépés a nulla megjelenése volt; Az elsők, akik ezt a szimbólumot használták, nyilvánvalóan indiai matematikusok voltak. Kezdetben a nullát nem számként, hanem számjegyként használták a számok helyzeti jelölésében, majd fokozatosan teljes értékű számként kezdték felismerni, ami valaminek a hiányát jelzi (például egy kereskedő teljes tönkremenetelét). ) [19] .

A negatív számokat először az ókori Kínában és Indiában használták, ahol az "adósság" matematikai képének tekintették őket. Az ókori Egyiptom , Babilon és az ókori Görögország nem használt negatív számokat, és ha az egyenletek negatív gyökereit kapták (kivonáskor), azokat lehetetlennek minősítették. A kivétel Diophantus volt , aki a 3. században már ismerte a "jelek szabályát", és tudta, hogyan kell negatív számokat szorozni. Ezeket azonban csak köztes szakasznak tekintette, amelyek hasznosak a végső, pozitív eredmény kiszámításához. A negatív számok hasznosságát és jogszerűségét fokozatosan állapították meg. Brahmagupta (7. század) indiai matematikus már a pozitívakkal egyenrangúnak tartotta őket [20] .

Európában ezer évvel később jött a felismerés, és még akkor is sokáig „hamisnak”, „képzeletnek” vagy „abszurdnak” nevezték a negatív számokat. Az európai irodalomban az Abacus könyvében jelent meg róluk először Pisai Leonard (1202), aki a negatív számokat is adósságként kezelte. Bombelli és Girard írásaikban a negatív számokat meglehetősen elfogadhatónak és hasznosnak tartották, különösen valami hiányának jelzésére. A negatív számokat szabadon használta Nicola Schücke (1484) és Michael Stiefel (1544) [20] .

A 17. században, az analitikus geometria megjelenésével a negatív számok vizuális geometriai ábrázolást kaptak a számegyenesen . Ettől a pillanattól kezdve teljes egyenlőségük következik. A negatív számok legalizálása számos kényelemhez vezetett - például lehetővé vált egy egyenlet elemeinek átvitele egy másik részébe, függetlenül a tag előjelétől (korábban, mondjuk, az egyenleteket alapvetően eltérőnek tekintették ) [21] . $x^{3}+ax=b$ $x^{3}=ax+b$

Ennek ellenére a negatív számok elmélete sokáig gyerekcipőben járt. Pascal például úgy vélte, hogy mivel "semmi sem lehet kevesebb a semminél" [22] . Egy furcsa arányt élénken vitatták meg - ebben a bal oldali első tag nagyobb, mint a második, a jobb oldalon pedig fordítva, és kiderül, hogy a nagyobb egyenlő a kisebbel (" Arno paradoxona "). Wallis úgy vélte, hogy a negatív számok kisebbek nullánál, de ugyanakkor nagyobbak a végtelennél [23] . Az sem derült ki, hogy a negatív számok szorzásának mi értelme van, és miért pozitív a negatív számok szorzata; heves viták folytak erről a témáról. Az akkori idők visszhangja, hogy a modern aritmetikában a kivonás műveletét és a negatív számok előjelét ugyanazzal a szimbólummal ( mínusz ) jelölik , bár algebrailag ezek teljesen különböző fogalmak. Gauss 1831-ben szükségesnek tartotta tisztázni, hogy a negatív számoknak alapvetően ugyanazok a jogai vannak, mint a pozitívaknak, és az, hogy nem vonatkoznak mindenre, nem jelent semmit, mert a törtek sem vonatkoznak mindenre (pl. nem alkalmazhatók az emberek számításakor) [24] . $0-4=0$ $1:\left(-1\right)=\left(-1\right):1$

A negatív számok teljes és meglehetősen szigorú elmélete csak a 19. században született ( William Hamilton és Hermann Günter Grassmann ) [25] .

Alkalmazás

Az alkalmazott tudományokban

Az egész számokat széles körben használják olyan tárgyak tanulmányozására, amelyek természetüknél fogva vagy a problémafelvetés sajátosságai miatt oszthatatlanok (például emberek, hajók, épületek, néha napok stb.). Negatív számok is használhatók az ilyen modellekben - például értékesítési tranzakciók tervezésekor pozitív számokkal jelezheti az eladásokat, negatív számokkal a vásárlásokat. Egy példa a fizikából a kvantumszámok , amelyek alapvető szerepet játszanak a mikrokozmoszban; mindegyik előjeles egész szám (vagy félegész szám ) [26] .

Az ebben az esetben felmerülő problémák megoldására speciális matematikai módszereket dolgoztak ki, amelyek figyelembe veszik a feladatok sajátosságait. Különösen az algebrai egyenletek (különböző fokú) egész számokban történő megoldását veszi figyelembe a " Diofantin egyenletek " [27] elmélete . Az egész számok optimalizálásának kérdéseit egész számok programozása vizsgálja [28] .

Az informatikában

Az egész típus gyakran az egyik fő adattípus a programozási nyelvekben . Az egész adattípusokat általában rögzített bitkészletként valósítják meg, amelyek közül az egyik egy szám előjelét kódolja, míg a többi bináris számjegyeket kódol. A modern számítógépek gazdag utasításkészlettel rendelkeznek az integer aritmetika számára [29] .

Hely az általános algebrában

Az általános algebra szempontjából az összeadás és a szorzás szempontjából egy végtelen kommutatív gyűrű egységben, nulla osztók nélkül ( integritási tartomány ). Az egész számok gyűrűje euklideszi (és így faktoriális ) és noetheri , de nem artinusi . Ha ezt a gyűrűt kibővítjük mindenféle tört hozzáadásával (lásd a hányadosok mezőjét ), akkor megkapjuk a racionális számok mezőjét ( ); Bármilyen osztás már megvalósítható benne, kivéve a nullával való osztást [30] [31] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Az összeadási művelet szempontjából Abel-csoport , tehát ciklikus csoport is , mivel minden nem nulla elem felírható véges összegként 1 + 1 + ... + 1 vagy (−1) + (−1) ) + ... + (−1 ) . Valójában az egyetlen végtelen ciklikus csoport összeadással, mivel bármely végtelen ciklikus csoport izomorf a csoporttal . Ami a szorzást illeti, nem alkot csoportot, mivel az egész számok halmazában az osztás általánosságban nem lehetséges [30] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $(\mathbb{Z},+)$ $\mathbb {Z}$

A szokásos sorrendű egész számok halmaza egy rendezett gyűrű , de nem jól rendezett , mivel például a negatív számok között nincs legkisebb. Azonban egészen rendezetté tehető egy "kisebb vagy egyenlő" [32] nem szabványos reláció meghatározásával , amelyet a következőképpen jelölünk és definiálunk: $\preccurlyeq$

a\preccurlyeq b,

ha vagy vagy vagy és

a=b,

|a|<|b|,

|a|=|b|

a<0<b.

Ekkor az egész számok sorrendje a következő lesz: Különösen a legkisebb negatív szám lesz. az új sorrendben egy jól rendezett készlet lesz, de már nem rendezett gyűrű, mivel ez a sorrend nincs összhangban a gyűrű műveleteivel: például -tól , 1-et adva balra és jobbra, rossz egyenlőtlenséget kapunk $0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots$ $-egy$ $\mathbb {Z}$ $1\preccurlyeq -2$ $2\preccurlyeq -1.$

Bármely rendezett gyűrű azonossággal és nulla osztó nélküli , egy és csak egy izomorf részgyűrűt tartalmaz [33] . $\mathbb {Z}$

Logikai alapok

A természetes számok egész számokra való kiterjesztése, mint az algebrai struktúra bármely más kiterjesztése, számos kérdést vet fel, amelyek közül a legfontosabb az, hogy hogyan definiáljunk műveleteket új típusú számokkal (például hogyan definiáljuk a negatív számok szorzását), milyen tulajdonságokkal rendelkeznek majd, és (a fő kérdés), hogy megengedhető-e egy ilyen bővítés, nem vezet-e elháríthatatlan ellentmondásokhoz. Az ilyen kérdések elemzéséhez egy axiómakészletet kell alkotni egész számokhoz.

Egész számok axiomatikája

Az egész számok halmazának axiomatikáját a legkönnyebben úgy határozhatjuk meg, ha a természetes számok már megszerkesztett halmazára hagyatkozunk (amelyet konzisztensnek feltételezünk, és tulajdonságai ismertek). Nevezetesen a természetes számok halmazát tartalmazó minimális gyűrűt definiáljuk . Szigorúbban az egész számok axiómái a következők [34] [35] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Z1 : Tetszőleges egész számok összege definiálva van .

a,b

a+b

Z2 : Az összeadás kommutatív : . A rövidség kedvéért a „mindenki számára ” kitételt általában elhagyják.

a+b=b+a

a,b\dots

Z3 : Az összeadás asszociatív :

\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right).

Z4 : Van olyan 0 (nulla) elem, hogy .

a+0=a

Z5 : Minden egész számhoz van egy ellentétes elem

a

-a

a+\left(-a\right)=0.

Z6 : Bármilyen egész szám esetén a szorzat definiálva van .

a,b

ab

Z7 : A szorzás asszociatív :

\left(ab\right)c=a\left(bc\right).

Z8 : A szorzás az eloszlási (eloszlási) törvények általi összeadáshoz kapcsolódik :

\left(a+b\right)c=ac+bc;\ c\left(a+b\right)=ca+cb.

Z9 : Az egész számok halmaza a természetes számok halmazával izomorf részhalmazt tartalmaz . Az egyszerűség kedvéért ezt a részhalmazt ugyanazzal a betűvel jelöljük alább .

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

\mathbb {N}

Z10 ( minimalitás axióma ): Legyen részhalmaza , beleértve és olyan, hogy a kivonási művelet ne vezessen túl . Akkor mindennel megegyezik .

M

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

M

M

\mathbb {Z}

Az egész számok összes többi tulajdonsága ezekből az axiómákból következik, beleértve a szorzás kommutativitását, a rendezettséget, az egész számokkal való osztás és a maradékkal való osztás szabályait [ 36] . Mutassuk meg például, hogyan vezetjük be az egész számok sorrendjét . Azt mondjuk, hogy ha van természetes szám. A sorrend axiómái könnyen ellenőrizhetők. A definícióból azonnal következik, hogy minden természetes szám nagyobb nullánál ( pozitív ), és minden ellentétük kisebb, mint nulla ( negatív ). A természetes számok esetében az új sorrend egybeesik a régivel [37] . $a<b$ $ba$

Az egész számok adott axiomatikája kategorikus , azaz bármelyik modellje izomorf gyűrűként [38] .

Konzisztencia

Egy új struktúra konzisztenciájának bizonyításának szokásos módja az axiómáinak modellezése ( értelmezése ) egy másik struktúra objektumainak felhasználásával, amelyek konzisztenciája nem kétséges. Esetünkben ezeket az axiómákat természetes számpárok alapján kell megvalósítanunk [39] .

Tekintsük az összes lehetséges rendezett természetes számpárt . A következő definíciók jelentésének egyértelművé tétele érdekében azonnal elmagyarázzuk, hogy minden ilyen párat a továbbiakban egész számnak kívánunk tekinteni , például a párok vagy egy egységet jelentenek, a párok vagy pedig képviselnek . $\left(a,b\right)$ $ab,$ $\left(3,2\right)$ $\left(6,5\right)$ $\left(1,4\right)$ $\left(8,11\right)$ $-3.$

Ezután határozza meg a [40]-et :

Páros és egyenlőnek tekintendő, ha . Ennek az az oka, hogy a példákban látható módon bármely egész szám leírható végtelen számú párral. $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $a+d=b+c$
Összeadás : a párok összege és egy párként van meghatározva . $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $\left(a+c,b+d\right)$
Szorzás : A és párok szorzata párként van meghatározva . $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$

Könnyen ellenőrizhető, hogy az összeadás és szorzás eredménye nem változik-e, ha bármelyik párt egyenlőre cseréljük, vagyis az új eredménypár egyenlő lesz az előzővel (az 1. definíció által jelzett egyenlőség értelmében) . Könnyen ellenőrizhető az is, hogy a leírt párok szerkezete kielégíti-e az egész számok axiómáinak teljes listáját. A pozitív számokat párokkal modellezzük , ahol a , a nulla a formájú párokat jelenti, a -val párok pedig a negatív számokat [40] . $\left(a,b\right)$ $a>b$ $\left(a,a\right)$ $\left(a,b\right)$ $a<b$

Ez a modell lehetővé teszi annak tisztázását, hogy az egész számok axiómái hogyan implikálják egyedileg tulajdonságaikat; mutassuk meg ezt a "jelek uralmának". Például két "negatív szám" és szorozásával , amelyre definíció szerint egy párt kapunk . A különbség az , hogy ez a szám pozitív, tehát a párszorzat pozitív egész számot jelent, ezért a negatív számok szorzata pozitív. Bármilyen más szabály (mondjuk: "negatív számok szorzata negatív") ellentmondásossá tenné az egész számok elméletét. $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $a<b,\ c<d$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$ $ac+bd-\left(ad+bc\right)$ $\left(ba\right)\left(dc\right)$

A leírt modell bizonyítja, hogy az egész számok adott axiomatikája konzisztens. Mert ha ellentmondás lenne benne, akkor ez ennél a modellnél a természetes számok alapszámításában ellentmondást jelentene, amit előzetesen konzisztensnek feltételeztünk [39] .

A halmaz kardinalitása

Az egész számok halmaza végtelen. Bár a természetes számok csak egy részhalmaza az egész számok halmazának, annyi egész szám van, ahány természetes szám van, abban az értelemben, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számhalmazéval – mindkettő megszámlálhatóak [ 41] .

Változatok és általánosítások

Egyes algebrai szerkezetek tulajdonságaiban hasonlóak az egész számok gyűrűjéhez . Közöttük: $\mathbb {Z}$

Gauss egész számok . Ezek komplex számok , ahol egész számok vannak. A Gauss-számokhoz, akárcsak a közönséges egész számokhoz, az osztók , a prímszám és a modulo fogalma definiálható . Az aritmetika főtételének analógja érvényes [42] . $a+bi$ $a,b$
Eisenstein egész számok [43] .

Jegyzetek

↑ Ez a természetes számok legrégebbi értelmezésére utal, az első elemmel: ${\megjelenítési stílus 1,2,3,4,5\pontok }$
↑ 1 2 3 Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 111-113.
↑ Az elemi matematika magasabb nézőpontból, 1987 , p. 37.
↑ Paul Pollack. A számelmélet szimbólumainak legkorábbi használata (a hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2017. október 22. Az eredetiből archiválva : 2010. január 31. (határozatlan)
↑ Elemi matematika, 1976 , p. tizennyolc.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 114.
↑ 1 2 3 4 Elemi matematika, 1976 , p. 24-28.
↑ 1 2 Az elemi matematika magasabb nézőpontból, 1987 , p. 39.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 114-115.
↑ 1 2 Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 172-173.
↑ 1 2 felosztás // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1979. - T. 2.
↑ Sushkevich A. K. Számelmélet. Alapfokú tanfolyam. - Kh .: Harkov Egyetem Kiadója, 1954. - 5. o.
↑ Elemi matematika, 1976 , p. húsz.
↑ Az oszthatóság fogalma // Az oszthatóság elméletének elemei: Módszertani ajánlások a Pedagógia és Gyermekpszichológia Kar hallgatói számára / összeáll. S. V. Pomorceva, O. V. Ivanova. - Omszk: Omszk állam. ped. egyetem, 2008. - 37 p.
↑ Knut D. A számítógépes programozás művészete. T. 1. Alapvető algoritmusok. - M .: Mir , 1976. - S. 68. - 735 p.
↑ Khinchin A. Ya. Folytatva a törtek . — M .: GIFML, 1960.
↑ Mach E. Kogníció és téveszme // Albert Einstein és a gravitáció elmélete. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (lábjegyzet). — 592 p. : "mielőtt a szám fogalma felmerül, meg kell tapasztalni, hogy bizonyos értelemben azonos értékű objektumok többszörösek és változatlanok ."
↑ Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése . - M . : Mir, 1984. - S. 109-112 . — 446 p.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Más kultúrák különleges számai // Figyelemre méltó számok. Zero, 666 és egyéb vadállatok. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 p. — (Matematika világa). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ 1 2 Glazer G. I. A matematika története az iskolában. - M . : Nevelés, 1964. - S. 132-135. — 376 p.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 113-114.
↑ Szuhotyin A. K. A tudományos eszmék viszontagságai. M.: Mol. őr. 1991, 34. oldal.
↑ Panov V.F. Negatív számok // Ősi és fiatal matematika. - Szerk. 2., javítva. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 399. - 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Alexandrova N.V. Matematikai kifejezések (Referenciakönyv). Moszkva: Felsőiskola, 1978, 164. o.
↑ A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 48-49.
↑ Sivukhin D. V. § 38. Az elektron négy kvantumszáma és a spektrális tagok finomszerkezete // A fizika általános kurzusa. - M. , 2005. - T. V. Atom- és magfizika. - S. 226.
↑ Gelfond A. O. Egyenletek megoldása egész számokban . - M . : Nauka, 1978. - ( Népszerű matematikai előadások ).
↑ Karmanov V. G. Matematikai programozás. — M .: Nauka , 1986. — 288 p.
↑ M. Ben-Ari. 4. fejezet Elemi adattípusok // Programozási nyelvek. Gyakorlati benchmarking = A programozási nyelv megértése. - M . : Mir, 2000. - S. 53 -74. — 366 p. — ISBN 5-03-003314-9 .
↑ 1 2 Vinberg E. B. Algebratanfolyam . 2. kiadás - M. : MTSNMO Kiadó, 2013. - S. 15-16, 113-114. — 590 p. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
↑ Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - M . : Mir, 1972. - S. 94. - 160 p.
↑ Donald Knuth . A programozás művészete, I. kötet. Alapvető algoritmusok. - M .: Mir , 1976. - S. 571 (15b). — 736 p.
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 100.
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 95-96.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , p. 160-162.
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 96-98.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , p. 170-171.
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 98.
↑ 1 2 Numerikus rendszerek, 1975 , p. 100-102.
↑ 1 2 Elemi matematika enciklopédiája, 1951 , p. 162-168.
↑ N. Ya. Vilenkin . Állítsa be a történeteket . - 3. kiadás - M. : MTSNMO , 2005. - S. 65-66. — 150 s. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ Okunev L. Ya. Komplex egész számok. - M . : Állam. uch.-ped. Az RSFSR Oktatási Népbiztosságának Kiadója, 1941. - 56 p.
↑ Eric W. Weisstein. Eisenstein egész szám . Letöltve: 2017. augusztus 19. (határozatlan)

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 oldal.
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Klein F. Az elemi matematika magasabb nézőpontból. - M . : Nauka, 1987. - T. I. Számtan. Algebra. Elemzés. — 432 p.
Nechaev V. I. Numerikus rendszerek. - M . : Nevelés, 1975. - 199 p.
Elemi matematika enciklopédiája (5 kötetben). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 p.

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy dán Nagy katalán Nagy katalán Nagy norvég Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4134668-3 NDL : 00570428 NKC : ph135364