Eisenstein szám

Az Eisenstein -szám ( Euler-szám [1] ) egy komplex szám a következő alakban:

z=a+b\omega

ahol a és b egész számok és

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

az egység köbös nem valós gyökere . Az Eisenstein-egészek a komplex síkban háromszögrácsot alkotnak . (Hasonlóan ahhoz, ahogy a Gauss-egészek négyzetrácsot alkotnak.)

Ferdinand Eisenstein német matematikus szisztematikusan vizsgálta .

Tulajdonságok

Az Eisenstein-egészek halmaza egy kommutatív gyűrű . Ez a gyűrű a Q (ω) algebrai számok mezőjében , egy harmadfokú körmezőben található .

Az ω szám kielégíti az egyenletet , és algebrai egész szám . Ezért minden Eisenstein- egész algebrai egész szám . $\omega ^{2}+\omega +1=0.$

Explicit módon is kiírhatja azt a polinomot , amelynek gyöke z = a + b ω.

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

Két Eisenstein-szám szorzata és megadja $a+b\omega$ $c+d\omega$

(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .

Az Eisenstein-egész szám normája az abszolút érték négyzete

|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.

Így egy Eisenstein-egész szám normája mindig természetes egész. Mert a

4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},

a nullától eltérő Eisenstein-egész szám normája mindig pozitív.

Az Eisenstein-számok gyűrűjének egységcsoportja egy ciklikus csoport , amelyet hat egységgyök alkot a komplex síkon. Ugyanis

{±1, ±ω, ±ω 2 }

És ezek az egységnorma Eisenstein-egészei.

Eisenstein prímszámok

Ha x és y Eisenstein-egészek, akkor azt mondjuk, hogy x osztja y -t, ha van olyan z Eisenstein-egész , amelyre y = z x .

Ez kiterjeszti a természetes egész számok oszthatóságának fogalmát . A prímszám fogalmát is kiterjeszthetjük ; Egy nem egy x Eisenstein-egészt Eisenstein - prímnek mondjuk, ha minden osztója ux alakú , ahol u a hat közül bármelyik.

Megmutatható, hogy az 1 modulo 3-hoz hasonlítható természetes prímszámok , valamint a 3-as számok x 2 − xy + y 2 -ként ábrázolhatók ( x , y egész számok), és ezért felbonthatók ( x + ω y )( x + ω 2 y ), tehát nem Eisenstein-prímek. A 2-vel kongruens természetes prímek a 3. bázisban nem ábrázolhatók ugyanúgy, ezért ezek is Eisenstein-prímek.

Minden a + b ω Eisenstein-egész , amelynek a 2 − ab + b 2 normája természetes prím, Eisenstein-prím.

Euklideszi gyűrű

Az Eisenstein-számok gyűrűje egy euklideszi gyűrűt alkot , amelyben az N normát a forma adja

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Ezt így lehet kiadni:

{\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+ b \,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2} -ab+b^{2}\end{igazított}}

C faktorcsoport Eisenstein egész számokkal

A C komplex sík faktorcsoportja az összes Eisenstein-egész számot tartalmazó rácshoz képest egy 2. valós dimenziójú komplex tórusz , amelyet a 2. valós dimenziójú összes komplex tori közül a legnagyobb szimmetriacsoport különböztet meg.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Surányi László. Algebra (határozatlan) . - TYPOTEX, 1997. - 73. o. és Szalay, Mihály. Számelmélet (neopr.) . - Tankönyvkiadó, 1991. - P. 75. Mindkettő Euler-egészeknek, azaz Euler-számoknak hívja ezeket a számokat.

Linkek

Eisenstein Integer – a MathWorldből

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2