Negatív szám
A negatív szám a negatív számok halmazának egy eleme, amely ( nullával együtt ) a matematikában a természetes számok halmazának bővítésekor jelent meg [1] . A kiterjesztés fő célja az volt, hogy a kivonás teljes értékű művelet legyen, mint összeadás . A természetes számokon belül csak a kisebb szám vonható ki a nagyobbból, és a kommutatív törvény nem tartalmazza a kivonást – például egy kifejezés érvényes, de a permutált operandusú kifejezés nem.
Ha negatív számokat és nullát adunk a természetes számokhoz, lehetővé válik a kivonás bármely természetes számpár esetében. Egy ilyen kiterjesztés eredménye az " egész számok " halmaza ( gyűrűje ) . Az egész számok halmazának racionális és valós számokra való további kiterjesztésével a megfelelő negatív értékeket ugyanúgy megkapjuk. Komplex számok esetében a „ negatív szám” fogalma nem létezik.
Negatív számok szerkesztése
Negatív számok helyzete a számtengelyen (pirossal kiemelve)Minden természetes számhoz egy és csak egy negatív szám tartozik, amelyet jelölünk , ez a nulla komplementere :
Mindkét számot egymás ellentétének nevezzük . A további természetes számokat „pozitívnak” nevezzük, a „negatív” helyett. Ha pozitív, akkor az ellentéte negatív, és fordítva. A nulla ellentétes önmagával [1] . A racionális és a valós számok pozitív és negatív értékeit hasonló módon határozzák meg : minden pozitív számhoz negatív szám tartozik
A negatív és a pozitív számok esetében is meg van adva egy sorrend , amely lehetővé teszi az egyik szám összehasonlítását a másikkal. Minden negatív szám, és csak ezek, kisebbek nullánál, és kisebbek a pozitív számoknál is. A számtengelyen a negatív számok a nullától balra helyezkednek el.
Egy szám abszolút értéke ez a szám az elvetett előjellel [2] . Kijelölés:
Példák:
Ha a ' számot kivonjuk egy másik számból, akkor az egyenértékű az ellentét hozzáadásával , ha :
Példa:
A negatív számokkal kapcsolatos aritmetikai műveletek végrehajtásáról az Integer#Algebraic Properties című témakörben olvashat .
Negatív számok tulajdonságai
A negatív számok majdnem ugyanazoknak az algebrai szabályoknak engedelmeskednek, mint a természetes számok, de van néhány sajátosságuk.
- Ha a pozitív számok bármelyik halmaza alul korlátos, akkor a negatív számok bármelyik halmaza felül korlátos.
- Egész számok szorzásakor az előjelek szabálya érvényes : a különböző előjelű számok szorzata negatív, az azonos előjelű számok szorzata pozitív.
- Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk egy negatív számmal, az egyenlőtlenség előjele megfordul. Például a 3 < 5 egyenlőtlenséget −2-vel megszorozva −6 > −10-et kapunk.
Ha maradékkal osztunk, a hányadosnak tetszőleges előjele lehet, de a maradék megegyezés szerint mindig nem negatív (egyébként nincs egyértelműen definiálva). Például, ha a −24-et elosztjuk 5-tel egy maradékkal, kétféle ábrázolást tesz lehetővé:
Közülük csak az első helyes, amelyben a maradék nem negatív.
Változatok és általánosítások
A pozitív és negatív számok fogalma bármely rendezett gyűrűben definiálható . Ezek a fogalmak leggyakrabban a következő számrendszerek egyikére vonatkoznak:
A fenti 1-3 tulajdonságok általános esetben is érvényesek. A "pozitív" és a "negatív" fogalma nem alkalmazható komplex számokra .
Történelmi vázlat
Az ókori Egyiptom , Babilon és az ókori Görögország nem használt negatív számokat, és ha az egyenletek negatív gyökereit kapták (kivonáskor), azokat lehetetlennek minősítették. Kivétel Diophantus volt , aki a 3. században már ismerte a jelek szabályát, és tudta, hogyan kell negatív számokat szorozni. Ezeket azonban csak köztes szakasznak tekintette, amelyek hasznosak a végső, pozitív eredmény kiszámításához.
A negatív számokat először részben a klasszikus kínai „ Matematika kilenc könyvben ” értekezésben (Kr. e. II. század), majd (kb. a 7. századtól) Indiában legalizálták , ahol adósságként (hiányként) értelmezték őket, ill. , mint Diophantusnál (Kr. u. III. század), átmeneti értékként ismerték el. A negatív számok szorzása és osztása még nem volt meghatározva. A negatív számok hasznosságát és jogszerűségét fokozatosan állapították meg. Brahmagupta ( 7. század ) indiai matematikus már a pozitívakkal egyenrangúnak tartotta őket, mind a négy műveletet negatív számokkal definiálta.
Európában ezer évvel később jött a felismerés, és még akkor is sokáig „hamisnak”, „képzeletnek” vagy „abszurdnak” nevezték a negatív számokat. Az európai irodalomban először a negatív számokat adósságként kezelő Pisai Leonard "Abacus könyvében" ( 1202 ) jelent meg róluk. Bombelli és Girard írásaikban a negatív számokat meglehetősen elfogadhatónak és hasznosnak tartották, különösen valami hiányának jelzésére. Pascal már a 17. században is úgy vélte, hogy mivel "semmi sem lehet kevesebb a semminél" [3] . Az akkori idők visszhangja, hogy a modern aritmetikában a kivonás műveletét és a negatív számok előjelét ugyanazzal a szimbólummal ( mínusz ) jelölik , bár algebrailag ezek teljesen különböző fogalmak.
A 17. században , az analitikus geometria megjelenésével a negatív számok vizuális geometriai ábrázolást kaptak a számtengelyen , köszönhetően a téglalap alakú koordinátarendszernek, amelyet Rene Descartes 1637-ben vezetett be. Ettől a pillanattól kezdve teljes egyenlőségük következik. Ennek ellenére a negatív számok elmélete sokáig gyerekcipőben járt. Például egy furcsa arányt aktívan tárgyaltak - ebben a bal oldali első tag nagyobb, mint a második, a jobb oldalon pedig fordítva, és kiderül, hogy a nagyobb egyenlő a kisebbel (" Arno paradoxona "). Wallis úgy vélte, hogy a negatív számok kisebbek nullánál, de ugyanakkor nagyobbak a végtelennél [4] . Az sem derült ki, hogy a negatív számok szorzásának mi értelme van, és miért pozitív a negatív számok szorzata; heves viták folytak erről a témáról. Gauss 1831 - ben szükségesnek tartotta tisztázni, hogy a negatív számoknak alapvetően ugyanazok a jogai vannak, mint a pozitívaknak, és az, hogy nem vonatkoznak mindenre, nem jelent semmit, mert a törtek sem vonatkoznak mindenre (pl. nem alkalmazhatók az emberek számításakor) [5] .
A negatív számok teljes és meglehetősen szigorú elmélete csak a 19. században született ( William Hamilton és Hermann Grassmann ).
Híres negatív számok
| Szám | A szám jelentése | Megjegyzések |
|---|---|---|
| -273,15 °C | Abszolút nulla hőmérséklet | Ez nulla Kelvin-fok. |
| −1,602 176 565 10 −19 C | Elektrontöltés _ | Az elemi töltés pozitív is lehet - protonokra és pozitronokra . |
| −2,7 10 −9 | De Bruijn-Newman állandó | A számérték a 2000-es évre vonatkozik. |
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ 1 2 Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 111-113.
- ↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 114.
- ↑ Szuhotyin A. K. A tudományos eszmék viszontagságai. M.: Mol. őr. 1991, 34. oldal.
- ↑ Panov V.F., 2006 , p. 399..
- ↑ Alexandrova N.V. Matematikai kifejezések (Referenciakönyv). Moszkva: Felsőiskola, 1978, 164. o.
Irodalom
- Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 oldal.
- Glazer G.I. A matematika története az iskolában . - M . : Nevelés, 1964. - 376 p.
- Panov VF Negatív számok // Matematika ősi és fiatal. - Szerk. 2., javítva. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 398-401. — 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
 Szótárak és enciklopédiák | |
|---|---|
| Bibliográfiai katalógusokban |
|