Művelet (matematika)

A művelet olyan leképezés , amely a halmaz egy vagy több elemét (argumentumát) társítja egy másik elemhez (értékhez). A "művelet" kifejezést általában aritmetikai vagy logikai műveletekre alkalmazzák, ellentétben az " operátor " kifejezéssel, amelyet gyakrabban alkalmaznak bizonyos önmag-leképezésekre, amelyek kutatás szempontjából érdekes tulajdonságokkal rendelkeznek.

Definíció

A művelet olyan leképezés, amelynek definíciós tartománya több halmaz közvetlen szorzata . Matematikailag a művelet felírható leképezésként ( és egybeeshet), ahol a művelet aritásának nevezzük [1] . $f$ $f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A}_{{n}}\to B$ $B$ $A$ $n$

Kapcsolódó definíciók

A műveletek különböznek azon halmazok számában, amelyek Descartes-szorzata a definíciós tartománya. Például egy művelet lehet unáris , ha egy halmaz egy elemét képezi le egy halmaz egy elemére, vagy bináris , ha egy halmaz két elemét képezi le egy elemre.

Az algebrai művelet olyan művelet, amelynek definíciós tartománya egy bizonyos halmaz derékszögű hatványával egyenlő, ahol az aritása , és az értéktartomány egyenlő ezzel a halmazzal , azaz [2] . $f$ $n$ $A,$ $n\in {\mathbb {N}}_{0}$ $A,$ $f\kettőspont A^{n}\A-ra$

Tulajdonságok

A műveletek eltérő tulajdonságokkal rendelkeznek, vagy nem. Például:

A kommutativitás (eltolási tulajdonság) a " " művelet tulajdonsága, amikor $\circ$ $a\circ b=b\circ a;$
antikommutativitás - például a kivonás művelete , mert $ab=-(ba);$
Az asszociativitás (asszociatív tulajdonság) a " " művelet tulajdonsága , amikor $\circ$ $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);$
disztributivitás (elosztó tulajdonság) - például a szorzás művelete az összeadás tekintetében , mivel $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;$
idempotencia - ha az ismételt művelet még nem változtatja meg az objektumot, például a modulo : $|x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\lponts$

A kommutativitás és az antikommutativitás együttvéve nem meríti ki az összes lehetséges művelet tulajdonságait: például a hatványozás nem kommutatív művelet, hiszen például, de ugyanakkor nem is antikommutatív: pl. $2^{3}\neq 3^{2},$ $2^{4}\neq {\color {Red}-}4^{2}.$

Műveletek

Aritmetika

Aritmetikai műveletek

Kiegészítés (+)

1. tag + 2. tag =

összeg

Kivonás (-)

Csökkentett − Kivont =

különbség

Szorzás (×)

1. szorzó × 2. szorzó =

munka

osztály (:)

Osztalék : osztó =

magán

Osztás maradékkal (mod)

Osztható modosztó = _

az osztály többi része

Hatványozás (^)

{\text{base}}^{\text{exponens}}

fokozat

Gyökér kivonás (√)

{\sqrt[{\text{value}}]{\text{number}}}

gyökér

Logaritmus (log)

\log _{\text{base}}

(szám) =

logaritmus

Az összeadás bináris művelet, például . $2+7=9$
A kivonás az összeadás inverze , pl. $9-7=2$
A szorzás az összeadás hiperművelete , például . $2\cdot 3=6$
Az osztás a szorzás inverze, pl. $6:3=2$
A hatványozás egy szorzási hiperművelet, például . $2^{3}=8$
A gyökér kinyerése a hatványozás inverze, például . ${\sqrt[{3}]{8}}=2$
A logaritmus például a hatványozás második inverze . $\log _{2}8=3$
A tetrálás például a hatványozás hiperművelete . $^{3}2=2^{{2^{2}}}=16$
A szupergyökér és a szuperlogaritmus a tetració inverz műveletei.

Az összeadás és a kivonás elemi aritmetikai műveletek. Minden más, összetettebb műveletet hiperműveletek eredményeként kapunk. Így az összeadás és a kivonás az első szakasz műveletei közé tartozik; szorzás és osztás - a második szakasz műveleteihez; hatványozás, gyökérkivonás és logaritmus - a harmadik szakasz műveleteihez; A tetració és inverz műveletei a negyedik fokozat ritkán használt műveletei, azonban az ilyen hiperoperáció korlátlanul folytatható, egészen az 5., 6. és magasabb fokozatok műveleteiig.

Calculus

Differenciálás - például egy függvény deriváltjának megtalálása . $(x^{2})'=2x$
Az integráció a differenciálódás ellentéte; például az antiderivatív funkció megtalálása . $\int 2xdx=x^{2}+C$

Logikai műveletek

A logikai műveletek két elemből álló elemekkel végzett műveletek: "igaz" és "hamis", vagy "1" és "0".

A tagadás ( ) egy unáris művelet; az "1"-t "0"-ra, a "0"-t pedig "1"-re alakítja. $\neg A$
A ( ) kötőszó egy bináris művelet; csak akkor adja vissza az „1” értéket, ha mindkét argumentum „1”. $A\És B$
A diszjunkció ( ) egy bináris művelet; csak akkor adja vissza a „0” értéket, ha mindkét argumentum „0”. $A\vagy B$

Jegyzetek

↑ Általános algebra. V.1 / O. V. Melnikov, V. N. Remeslennikov, V. A. Romankov és mások A tábornok alatt. szerk. L. A. Szkornyakova. M.: Tudomány. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1990. - 592 p. - (Referencia mat. b-ka). ISBN 5-02-014426-6 (1. kötet)
↑ Matematikai enciklopédia . — M.: Szovjet Enciklopédia . I. M. Vinogradov . 1977-1985.