Kivonás

A kivonás (redukció) két argumentum (redukált és kivont) egyik segéd bináris matematikai művelete ( aritmetikai művelet) , amelynek eredménye egy új szám (különbség) [1] , amelyet az első argumentum értékének csökkentésével kapunk a második argumentum értéke. Egy betűn általában mínuszjellel jelölik : . A kivonás az összeadás fordított művelete . $ab=c$

Általánosságban a következőket írhatjuk: , hol és . Vagyis a halmaz minden elempárjához hozzá van rendelve egy elem , az úgynevezett különbség és . A kivonás csak akkor lehetséges, ha mindkét argumentum ugyanahhoz az elemkészlethez tartozik (azonos típusú). ${\overline {S}}(a,b)=c$ $a\in A$ $b\in A$ $(a,b)$ $A$ $c=ab$ $a$ $b$

Negatív számok jelenlétében célszerű a kivonást (és definiálást) egyfajta összeadásnak - összeadásnak tekinteni negatív számmal [2] . Például kiegészítésnek tekinthető: . $5-2=3$ $5+(-2)=3$

A valós számok halmazán az összeadási függvény tartománya grafikusan az origón áthaladó, a tengelyekhez képest 45°-os szögben dőlt sík alakú .

A kivonásnak számos fontos tulajdonsága van (például: ): $A=$ $\mathbb {R}$

Antikommutativitás :

ab=-(ba),\quad \forall a,b\in \ A.

Nem asszociativitás:

(ab)-c\neq a-(bc),\quad \exists a,b,c\in \ A.

Eloszlás :

x\cdot (ab)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.

A kivonás ( nulla elem ) az eredetivel megegyező számot ad:

0

x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.

Példaként a jobb oldali képen a bejegyzés azt jelenti, hogy öt alma kivonja két almát, ami három almát eredményez. Vegye figyelembe, hogy 5 almából nem vonhat le például 2 körtét. Az almák számolása mellett a kivonás más fizikai és absztrakt mennyiségek különbségét is képviselheti, mint például: negatív számok , törtszámok , vektorok , függvények és mások. $5-2=3$

Formák és terminológia

A kivonást a mínusz jellel írják : " " az argumentumok közé, ezt a jelölési formát infix jelölésnek nevezik . Ebben az összefüggésben a mínusz szimbólum egy bináris operátor . Az eredményt a " " egyenlőségjellel írjuk , például: $-$ $=$

ab=c

;

6-3=3

("hat mínusz három egyenlő három");

64-35=29

("hatvannégy mínusz harmincöt egyenlő huszonkilenc").

Írásban a mínusz szimbólum nagyon hasonlít más írott karakterekhez , például kötőjelekhez , kötőjelekhez és másokhoz. Gondosan elemezze a kifejezést, hogy ne legyen téves értelmezése a szimbólumnak.

Tulajdonságok

A numerikus halmazokon végzett kivonási műveletnek a következő főbb tulajdonságai vannak: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$

A kivonás antikommutatív - a különbség az argumentumok helyének változásától változik:

Antikommutativitás :

ab\neq ba,\quad \forall a,b\in \ A.

A kivonás anti-asszociatív - három vagy több szám egymás utáni kivonásakor a műveletek sorrendje fontos, az eredmény megváltozik:

Anti-asszociativitás :

(ab)-c\neq a-(bc),\quad \forall a,b,c\in \ A.

A kivonás disztributív, ez az ugyanazon halmazon definiált két bináris művelet konzisztencia tulajdonsága, más néven elosztási törvény [4] .

Eloszlás :

x\cdot (ab)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.

Ami a kivonást illeti, csak egy semleges elem van a halmazban , a nullából (vagy semleges elemből) való kivonás az eredetivel megegyező számot ad: $A$

Null elem :

x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.

A nulla kivonás idempotens - a művelet ismételt alkalmazása az objektumra ugyanazt az eredményt adja, mint egyetlen:

Idempotencia : ;

x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A

Az ellentétes elem kivonása kétszeres számot kap:

a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.

A kivonás eredménye nem mindig biztos a természetes számok halmazánál : ahhoz, hogy a kivonás eredményeként természetes számot kapjunk, a minuendnek nagyobbnak kell lennie, mint a kivonási számnak. A természetes számok keretein belül nem lehet nagyobb számot kivonni egy kisebb számból. $\mathbb {N}$

A halmazokon definiált számok kivonásának művelete ugyanahhoz a halmazhoz tartozó számot (különbséget) ad, ezért a kivonási művelet zárt műveletekre vonatkozik (olyan műveletekre, amelyek adott számhalmazból nem származnak eredményt), azaz a számok gyűrűket alkotnak a kivonási művelethez képest. $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$

Kivonás végrehajtása

A kivonási művelet egyfajta " fekete dobozként " ábrázolható, amelynek bemenetén a minuend és a kivonás, a kimeneten pedig egy - a különbség:

A két szám kivonási feladatának gyakorlati megoldása során le kell redukálni egy egyszerűbb műveletsorra: „egyszerű kivonás”, kölcsönzés , összehasonlítás stb. Erre különféle kivonási módszereket fejlesztettek ki, pl. számok, törtek, vektorok stb. A természetes számok halmazán jelenleg a bitenkénti kivonás algoritmusa használatos. Ebben az esetben a kivonást eljárásnak kell tekinteni (nem a művelettel).

Egy közelítő algoritmus két szám bitenkénti kivonására

Mint látható, az eljárás meglehetősen bonyolult, viszonylag sok lépésből áll, és nagy számok kivonása esetén ez sokáig tarthat.

"Egyszerű kivonás" - ebben az összefüggésben a húsznál kisebb számok kivonásának műveletét jelenti, amely könnyen csökkenthető . Csökkenő hiperoperátor :

$ab=\operátornév {hiper-1} (a,b)=\operátornév {hiper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b.$

$a{^{(-1)}}b=ab=\kapcsos zárójel {1+1+\pontok +1} _{a}\zárójel {-1-1-\pontok -1} _{b} .$

ahol: az egyszer végrehajtott növelő műveletek sorozata ; — az egyszer végrehajtott csökkentési művelet sorrendje . $1+1+\dots +1$ $a$
$-1-1-\dots -1$ $b$

A kivonási folyamat egyszerűsítése és felgyorsítása érdekében az „egyszerű kivonás” táblázatos módszerét használják, ehhez a 18-tól 0-ig terjedő számkülönbségek összes kombinációját előre kiszámítják, és a kész eredményt ebből a táblázatból veszik [5] :

decimális kivonási táblázat

-	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16	17	tizennyolc
0	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
egy		0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
2			0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
3				0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
négy					0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
5						0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
6							0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
7								0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
nyolc									0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
9										0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9

Ez az eljárás természetes és egész (előjelhez kötött) számok kivonására alkalmazható . Más számokhoz bonyolultabb algoritmusokat használnak.

Számkivonás

Természetes számok

Használjuk a természetes számok definícióját véges halmazok ekvivalenciaosztályaiként . Jelöljük zárójelek segítségével bijekciókkal generált véges halmazok ekvivalencia osztályait: . Ekkor a "kivonás" aritmetikai művelet a következőképpen definiálható: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ ${\megjelenítési stílus [C],[A],[B]}$

[C]=[A]-[B]=[A\setminus B];

hol van a halmazok különbsége . Ez az osztályokon végzett művelet helyesen kerül bevezetésre, vagyis nem függ az osztályelemek megválasztásától, és egybeesik az induktív definícióval. ${\displaystyle A\setminus B=\{C\in A\mid C\not \in B\mid B\subset\))$

Egy véges halmaz egy az egyhez leképezése egy szegmensre felfogható a halmaz elemeinek felsorolásaként . Ennek a számozási folyamatnak a neve "COUNT". Így a „számla” egy-egy megfeleltetés létrehozása egy halmaz elemei és a természetes számsorok szegmense között. $A$ ${\displaystyle N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

A természetes számok kivonásához a számok helymeghatározásában bitenkénti kivonási algoritmust használnak. Adott két természetes szám , és így: $a$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad a\geqslant b,\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

hol ; - a számjegyek száma ; - a kategória (pozíció) sorszáma, ; - a számrendszer alapja; numerikus karakterek (számjegyek) halmaza, meghatározott számrendszer: , , ; akkor: ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$ $n$ $n\in \{1,2,\dots ,n\}$ $k$ $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$ $P$ $\{P\}$ $\{P_{2}\}=\{0,1\}$ ${\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\))$ ${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\))$

c=ab;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}-b_{n -1}b_{n-2}\pontok b_{0};

apránként kivonva a következőket kapjuk:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}-b_{0},\quad &{\text{if }}a_{0}\geqslant b_{0}{\text{ }} \\a_{0}+P-b_{0},\quad a_{1}=a_{1}-1&{\text{if }}a_{0}<b_{0}{\text{ }}\ vége{esetek}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}-b_{1},\quad &{\text{if }}a_{1}\geqslant b_{1}{\text{ }} \\a_{1}+P-b_{1},\quad a_{2}=a_{2}-1&{\text{if }}a_{1}<b_{1}{\text{ }}\ vége{esetek}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}-b_{n-1},\quad &{\text{if }}a_{n-1}\geqslant b_{ n-1}{\text{ }}\\a_{n-1}+P-b_{n-1},\quad a_{n}=a_{n}-1&{\text{if }}a_{ n-1}<b_{n-1}{\text{ }}\end{cases}}$

Így a kivonási művelet a természetes számok szekvenciális egyszerű kivonásának eljárására redukálódik , szükség esetén kölcsön képzésével, amelyet vagy táblázatos módszerrel vagy dekrementálással (számlálással) hajtunk végre. ${\displaystyle a_{k}-b_{k))$

A számokkal végzett aritmetikai műveletek bármely pozíciós számrendszerben ugyanazok a szabályok szerint történnek, mint a decimális rendszerben , mivel mindegyik a megfelelő polinomokra vonatkozó műveletek végrehajtásának szabályain alapul . Ebben az esetben a számrendszer adott alapjának megfelelő kivonási táblázatot kell használni. $P$

Példa természetes számok kivonására bináris , decimális és hexadecimális számrendszerben, a kényelem kedvéért a számokat a számjegyeknek megfelelően egymás alá írjuk, felül a kölcsön jelét, a hiányzó számjegyeket nullákkal töltjük ki:

{\begin{array}{ccccccccc}&.&.&_{10}&&.&_{10}\\&1&1&0&1&1&0\\-&0&1&1&1&0&1\\\hline &&1&1&0&0&1\end{array));\quad \quad \begin{array}{cccccc}&.&_{10}&\\&8&4&5&6&7\\-&3&7&5&4&1\\\hline &4&7&0&2&6\end{array));\quad \quad {\begin{array}{cccccc}&.&_ {10}&&&_{.}&_{10}\\&C&5&6&D&E&4\\-&0&F&2&A&1&F\\\hline &B&6&4&3&C&5\end{array}}.

Egész számok

Az egész számok halmaza a természetes számok halmazának kiterjesztése , amelyet a [6] alakú negatív számok összeadásával kapunk . Az egész számok halmazát jelöljük. Az egész számokkal végzett aritmetikai műveletek a természetes számokra vonatkozó megfelelő műveletek folyamatos folytatásaként definiálhatók. $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

A negatív számok jelenléte lehetővé teszi számunkra, hogy a "kivonást" egyfajta "összeadásnak" tekintsük (és határozzuk meg) - negatív számmal való összeadásnak . A „kivonást” azonban e cikk keretein belül egész számok halmazán meghatározott műveletnek fogjuk tekinteni, ez vonatkozik a következő numerikus halmazokra is. A természetes számokhoz képest az a különbség, hogy a negatív számok a számegyenesen ellenkező irányba mutatnak, ez némileg megváltoztatja a kivonási eljárást. Figyelembe kell venni a számok kölcsönös irányát, itt több eset lehetséges:

Ha mindkét érv pozitív, akkor: $c=ab;$
Ha az egyik érv negatív, akkor bármelyik $c=-ab=-(a+b),$ $c=a-(-b)=a+b;$
Ha mindkét argumentum negatív, akkor: $c=(-a)-(-b)=-a+b=ba.$

Itt és lent a bitenkénti kivonás (összeadás) algoritmus is használatos. Vegyük például a következő kifejezést: ; mivel a és számok különböző előjelűek, a mínuszt zárójelbe tesszük: , tovább számolva azt a választ kapjuk: . $-6-4=-10$ $-6$ $négy$ $-6-4=-(6+4)$ $-tíz$

Racionális számok

A racionális számok halmazát jelöljük (az angol "private" hányadosból ), és a következő formában írható fel: $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}=\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

Ha a racionális számokat a következő alak közönséges (vagy egyszerű) törtjeiből szeretnénk kivonni : , azokat át kell alakítani (hozni) közös (azonos) nevezővé . Például vegyük a nevezők szorzatát, miközben a számlálókat megszorozzuk a megfelelő nevezőkkel. Ezután vonjuk ki a kapott számlálókat, és a nevezők szorzata közös lesz. $\pm {\frac {m}{n}}$

Ha két racionális számot adunk meg úgy , hogy: (nem redukálható törtek), akkor: $a$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=ab={\frac {m_{a}}{n_{a}}}-{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\ cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}-{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={ \frac {m_{a}\cdot n_{b}-m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[7]

Vagy megtalálhatja a nevezők legkisebb közös többszörösét (LCM). Eljárás:

Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét: . $M=[n_{a},n_{b}]$
Szorozzuk meg az első tört számlálóját és nevezőjét -vel . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a))))$
Szorozzuk meg a második tört számlálóját és nevezőjét -vel . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b))))$

Ezt követően mindkét tört nevezője azonos (egyenlő ). Ez számos egyszerű esetben leegyszerűsíti a számításokat, nagy számok esetén viszont sokkal bonyolultabbá válik a számítás. Felveheti, mint bármely más közös többszöröst. $M$ $M$

Példa a kivonásra:

{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}-{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10-3}{15}}={\frac {7} {tizenöt}}.

Ha mindkét tört nevezője azonos, akkor:

{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {1-2}{4}}=-{\frac {1}{4}}.

Ha a nevezők bármely szám többszörösei, akkor csak egy törtet alakítunk át:

{\frac {3}{8}}-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}-{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 ))={\frac {3-1\cdot 2}{8}}={\frac {1}{8}}.

A "kivonás" aritmetikai művelet a racionális számok felett zárt műveletekre vonatkozik.

Valós számok

A végtelen tizedes törtekkel ábrázolt valós számokkal végzett aritmetikai műveleteket a racionális számokra vonatkozó megfelelő műveletek folytonos folytatásaként [8] definiáljuk .

Adott két valós szám, amelyek végtelen tizedesjegyekkel ábrázolhatók :

{\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\))

{\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\))

A racionális számok alapvető sorozatai határozzák meg (amely kielégíti a Cauchy-feltételt ), és a következőképpen jelöljük: és , akkor ezek különbsége az és a sorozatok különbsége által meghatározott szám : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha -\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]-[b_{n}]=[a_{n}-b_{n}]

;

valós szám , teljesíti a következő feltételt: $\gamma =\alpha -\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Jobbra (a'-b'\leqslant \alpha -\beta \leqslant a''-b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \gamma \leqslant a'' -b'')

Így két valós szám különbsége olyan valós szám , amely egyrészt az összes formakülönbség, másrészt az összes formakülönbség között benne van [9] . $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $a'-b'$ $a''-b''$

A gyakorlatban ahhoz, hogy két és számot le lehessen vonni , a szükséges pontossággal helyettesíteni kell őket közelítő racionális számokkal és . A számok különbségének közelítő értékéhez vegyük a feltüntetett racionális számok különbségét . Ugyanakkor nem mindegy, hogy a felvett racionális számok melyik oldalról (hiány vagy többlet alapján) közelítenek és . Az összeadás a bitenkénti összeadás algoritmusa szerint történik. $\alpha$ $\beta$ $a$ $b$ $\alpha -\beta$ $ab$ $\alpha$ $\beta$

A hozzávetőleges számok kivonásakor az abszolút hibáik összeadódnak , egy szám abszolút hibáját a szám utolsó számjegyének felével vesszük. A különbség relatív hibája az érvek relatív hibáinak legnagyobb és legkisebb értéke között van; a gyakorlatban a legnagyobb értéket veszik fel . A kapott eredményt felkerekítjük az első helyes számjegyre, a közelítő szám jelentős számjegye akkor helyes, ha a szám abszolút hibája nem haladja meg az ehhez a számjegyhez tartozó számjegyegység felét. $\Delta (ab)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (ab)=\max(\delta a,\delta b)$

Példa kivonásra , legfeljebb 3 tizedesjegyig: $\gamma =\pi -e$

Ezeket a számokat 4. tizedesjegyre kerekítjük (a számítások pontosságának javítása érdekében) ;
Kapunk: ; $\pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183$
Kivonás bitenként: ; $\gamma =\pi -e\körülbelül 3,1416-2,7183\körülbelül 0,4233$
3. tizedesjegyig felfelé kerekítve: . $\gamma \kb. 0,423$

Menetrend

A valós számok halmazán a kivonási függvény tartománya grafikusan az origón áthaladó és a tengelyekhez képest 45°-os szögben dőlt sík alakú .

Mivel , akkor ezeknél a halmazoknál a kivonási függvény tartománya ehhez a síkhoz fog tartozni. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Komplex számok

Az aritmetikai műveleteket tartalmazó komplex számok halmaza egy mező , és általában a szimbólummal jelöljük . $\mathbb {C}$

A komplex számokat a valós és a képzetes rész kivonásával vonjuk ki egymásból [10] . Ez azt jelenti:

c+fi=(a+di)-(b+ei)=(ab)+(de)i,\

Ahol: , a képzeletbeli egység . Ha a komplex számokat vektorként ábrázoljuk a komplex síkon , akkor a komplex számok kivonására a következő geometriai értelmezést adjuk: a komplex számok és a komplex számok különbsége , amelyet a komplex síkon vektorok ábrázolnak, egy vektor lesz, amely összeköti a komplex számok végeit. a redukált vektor és a kivonandó és a kivontból a redukáltba irányítandó vektor, ez a különbségvektor és ennek megfelelően a komplex számok különbsége (hasonló lesz, ha a redukálthoz hozzáadjuk a vektor inverzét a kivont vektorhoz vektor). $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $én$ $a+di$ $b+ei$

Hasonlóképpen n-edik dimenziójú komplex számok esetén : $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\pontok +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\pontok +b_{n}i_{n};$ $C=AB=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})-(b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\pontok +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}-b_{1})1+(a_{2}-b_{2})i_{2}+\pontok +(a_{n}-b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\pontok +c_{n}i_{n}.$

Exponenciális jelölés

Az exponenciális jelölésben a számokat a következőképpen írjuk fel , ahol a mantissza , a szám jellemzője és a számrendszer alapja . Két exponenciális formában felírt szám kivonásához azonos jellemzőkkel kell rendelkezniük: az eloszlási tulajdonság szerint. ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}-b\cdot P^{n}=(ab)\cdot P^{n},$

Például:

2,3\cdot 10^{-5}-5,67\cdot 10^{-6}=2,34\cdot 10^{-5}-0,567\cdot 10^{-5}=(2,34-0,567)\cdot 10^{-5}=1,773\cdot 10^{-5}

Tetszőleges számok kivonása

A különböző halmazokhoz tartozó számok kivonásakor a kisebb teljesítményű halmazból a nagyobb teljesítményű halmazból származó szám irányába kell bővíteni, vagy mindkét számot bővíteni a halmazok kiegyenlítéséig, ha van ilyen lehetőség. Például, ha ki kell vonni egy természetes számot egy racionális számból , akkor abból a tényből kiindulva, hogy a természetes számok a racionális számok részhalmazai, a természetes számot racionális számmá bővítjük, és kivonunk két racionális számot . Hasonlóképpen, azzal a ténnyel, hogy: kivonhat számokat különböző halmazokból egymás között. $9{,}56$ $négy$ $négy$ $4{,}00$ $9{,}56-4{,}00=5{,}56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$

A kivonás tanításának jellemzői az iskolásoknak

A gyakorlat azt mutatja, hogy könnyebb megtanítani az iskolásokat a számok közötti különbség kiszámítására, mint megtanítani őket eldönteni, hogy egy adott feladatban a kivonási művelet alkalmazható-e. Ennek az az oka, hogy a kivonás, ellentétben például az összeadással, nem kommutatív művelet, argumentumai más-más szerepet töltenek be, a kivonási feladatok helyzetei, amelyeket a tanulónak meg kell oldania, lényegesen változatosabbak, mint az összeadásnál. Ebben a tekintetben azoknak a gyerekeknek, akik egyfajta kivonási feladatot oldottak meg, nehéz lehet más típusú kivonási feladatot megoldani, még azonos számadatokkal is. A gyermekkel dolgozó tanárnak gondoskodnia kell arról, hogy tanítványa magabiztosnak érezze magát, és megoldást találjon a következő típusú kivonási problémákra:

Feladattípusok	Feladatpéldák
Feladatok a kezdeti összeg csökkenéséhez (kiadáshoz) vezető cselekvés vagy folyamat eredményének megtalálására	Vasyának 5 almája volt, ebből 3-at kiosztott a barátainak. Hány almája maradt?
Feladatok számok és értékek összehasonlítására, a különbség, többlet, többlet megtalálására	A maximális sebesség az úton 60 km/h. Egy autó halad rajta 85 km/h sebességgel. Mennyivel lépi túl a sofőr a megengedett sebességet?
Intervallummérési feladatok - időbeli és térbeli (az előző típusú feladatok speciális eseteként)	Az iskolában az órák 13:05-kor érnek véget. Most 10 óra 42 perc van. Mennyi idő van még az órák végéig?
Feladatok a sokaság ismeretlen részének (térfogat) megtalálásához az ismert rész kiegészítéseként.	25 tanuló van az osztályban. Közülük kettő vörös hajú, nyolc gesztenye hajú, hatan szőke, a többiek barnák. Hány barna van az osztályban?
Problémák az összeadási művelet megfordításával kapcsolatban. Az első operandus helyreállítása	Masha 25 rubelt tett a malacperselybe, és összesen 583 rubel volt. Mennyi pénze volt Másának előtte?
Problémák az összeadási művelet megfordításával kapcsolatban. A második operandus helyreállítása	Egy toll ára 20 rubel, egy toll és jegyzettömb 50 rubelbe kerül. Mennyibe kerül egy jegyzettömb?
A kivonás műveletének megfordításának problémái. A második operandus helyreállítása (kivonva)	16 varjú ült egy fán. Több varjú elrepült, de 5 maradt. Hány varjú repült el?

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kivonás // Matematikai enciklopédia. Moszkva: Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ Kivonás a PlanetMath weboldalon .
↑ Lebegyev, 2003 , p. 97.
↑ Tehát ezeket a tulajdonságokat nevezik az elemi osztályok tankönyveiben
↑ Istomina, 2005 , p. 165.
↑ Vigodszkij, 2003 .
↑ Gusev, 1988 , p. húsz.
↑ Mivel a valós számok halmazán már bevezettük a lineáris sorrendű relációt, meg tudjuk határozni a valós sor topológiáját: nyitott halmazokként felvesszük a forma intervallumainak összes lehetséges unióját. $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Iljin, 1985 , p. 46.
↑ Conway, 1986 , p. 107.

Irodalom

Iljin V.A. stb. Matematikai elemzés. Kezdő tanfolyam. (neopr.) . - Moszkvai Állami Egyetem, 1985. - T. 1. - 662 p.
Enderton G. A halmazelmélet elemei. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 p. — ISBN 0-12-238440-7 .
Barsukov A.N. Algebra. Tankönyv 6-8. osztályosoknak. (neopr.) . - Felvilágosodás, 1966. - 296 p.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika. Útmutató anyagok, könyv diákoknak. (neopr.) . - Felvilágosodás, 1988. - 416 p.
Istomina N.B. A matematikatanítás módszerei általános iskolában: Fejlesztő nevelés. (neopr.) . - Egyesület XXI. század, 2005. - 272 p. - ISBN 5-89308-193-5 .
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve (neopr.) . - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6 .
AZ ÉS. Igoshin. A PEDAGÓGIAI EGYETEM SZÁMÍTÁSI RENDSZEREK TANFOLYAMATA (rus.) : cikk. — N.G.-ről elnevezett Szaratovi Állami Egyetem. Csernisevszkij, 2010.
Kononyuk A.E. Általánosított modellezési elmélet. (neopr.) . - Ukrajna oktatása, 2012. - 2. évf. - 548 p. — ISBN 978-966-7599-50-8 .
Kötőjel, mínusz és kötőjel, vagy Az orosz tipográfia jellemzői : [ arch. 2011. augusztus 24. ] // Vezetés / Artemy Lebedev . - 2003. - 97. § (január 15.).
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. - Springer Science, 1986. - 322 p. — ISBN 0-387-90328-3 .