Alapvető sorrend

Az alapsorozat , önkonvergáló sorozat vagy Cauchy sorozat  egy metrikus térben lévő pontok sorozata úgy, hogy bármely nullától eltérő távolságra van a sorozatnak egy eleme, amelyből kiindulva a sorozat összes eleme egymástól adott távolságnál kisebb.

Definíció

Egy metrikus térben lévő pontsorozatot akkor nevezünk fundamentálisnak , ha megfelel a Cauchy-kritériumnak :

Kapcsolódó definíciók

• Teljesnek nevezzük azt a metrikus teret, amelyben minden alapsorozat ugyanannak a térnek egy eleméhez konvergál .

Tulajdonságok

• Minden konvergens sorozat alapvető, de nem minden alapvető sorozat konvergál egy elemhez a teréből.
• A metrikus tér akkor és csak akkor teljes, ha a végtelenül csökkenő sugarú, egymásba ágyazott zárt golyók rendszerében van egy pontból álló nem üres metszéspont.
• Ha egy sorozat alapvető és konvergens részsorozatot tartalmaz, akkor maga a sorozat konvergál.
• Ha egy sorozat alapvető, akkor korlátos.

Irodalom

• Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, - M . : Nauka, 2004. - 7. kiadás.
• Shilov G. E. Matematikai elemzés. Egy változó függvényei. 3. rész, - M . : Nauka, 1970.