Természetes számok váltakozó sorozata

A természetes számok előjel-váltakozó sorozata olyan jel- váltakozó sorozat , amelynek modulo tagjai egymást követő természetes számok , és van egy váltakozó előjelük: 1 - 2 + 3 - 4 + .... Ennek a sorozatnak az m számú részösszegét a következő kifejezés írja le:

\sum _{{n=1}}^{m}n(-1)^{{n-1}}

Egy ilyen számsor divergál , vagyis a sorozat részösszegei nem hajlanak semmilyen véges határhoz . Azonban a 18. század közepén Leonhard Euler egy olyan kifejezést javasolt, amelyet „ paradoxnak ” minősített:

1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.

A kifejezés értelmezésére szolgáló matematikai apparátust sokkal később fejlesztették ki. 1890- től Cesaro , Borel és más matematikusok szigorúan megfogalmaztak módszereket az eltérő sorozatok általánosított összegeinek meghatározására, és új értelmezésekkel egészítették ki Euler elképzeléseit. Sok ilyen módszer egy sorozat összegére 1⁄4-nek megfelelő eredményt ad . A Cesaro-összegzés azon kevés módszerek egyike, amely nem teszi lehetővé az 1 − 2 + 3 − 4 + .. összeg meghatározását . Így ahhoz, hogy a sorozat általánosított összegzési módszerével megkapjuk a végső összeget, más megközelítésre van szükség, például az Abel-összegzés módszerével .

A váltakozó természetes sorozat szorosan összefügg a Grandi sorozattal ( 1 − 1 + 1 − 1 + … ). Euler ezeket a sorozatokat az 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … sorozat két speciális eseteként kezelte , amelyeket tetszőleges n -re vizsgált, miközben a bázeli problémán dolgozott , és kapott funkcionális egyenleteket a ma Dirichlet eta néven ismert függvényekhez. függvény és zéta -Riemann függvény .

Divergencia

A sorozat tagjai (1, −2, 3, −4, ...) nem hajlanak nullára , ezért a szükséges konvergenciafeltételnek megfelelően a sorozat divergál [1] :8 :

1 = 1 1 - 2 = -1 , 1-2 + 3 = 2 , 1 - 2 + 3 - 4 = -2 , 1–2 + 3–4 + 5 = 3 , 1-2 + 3-4 + 5-6 = -3 , …

\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1) +1}{4}}

Ez a sorozat annyiban figyelemreméltó, hogy minden egész szám szerepel benne - az üres részösszeg mellett nulla is -, így ennek a sorozatnak a tagjainak értékkészlete megszámlálható [2] :23 . Ez a részösszegek sorozata azt mutatja, hogy a sorozat nem konvergál egyetlen számhoz sem (bármely x esetén lehet olyan tagot találni, amely után az összes következő részösszeg kívül lesz a intervallumon ), és ezért a váltakozó természetes sorozatok eltérnek. $[x-1,x+1]$

Heurisztika az összegzéshez

Stabilitás és linearitás

Mivel az 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... kifejezések egy egyszerű mintának engedelmeskednek, a váltakozó természetes sorozatok eltolással és termikus összeadással átalakíthatók, hogy valamilyen számértéket rendeljenek hozzá. Ha az s = 1 − 2 + 3 − 4 + … kifejezésnek valamilyen s közönséges számra van értelme, akkor a következő formális transzformáció lehetővé teszi számunkra, hogy azt állítsuk, hogy értéke valamilyen értelemben egyenlő s = 1⁄ 4 : [ 1 ] : 6 .

{\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3 -4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3 -4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[ &(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6 )+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}

Ezért . A jobb oldalon ez a következtetés grafikusan látható. $s={\frac {1}{4}}$

Bár a váltakozó természetes sorozat divergál, és nincs a szokásos értelemben vett összege, az s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 kifejezés természetes választ ad, ha ilyen összeg meghatározható. Egy divergens sorozat "összegének" általánosított meghatározását összegzési módszernek nevezzük , amely lehetővé teszi, hogy összegeket találjon az összes sorozat bizonyos részhalmazaihoz. Számos általánosított sorösszegzési módszer létezik (amelyek közül néhányat az alábbiakban ismertetünk ) , amelyek rendelkeznek a hagyományos sorösszegzés néhány tulajdonságával. Fentebb bebizonyosodott, hogy ha bármilyen általánosított összegzési módszert alkalmazunk, amely lineáris és stabil , amely lehetővé teszi, hogy megkapja az 1 − 2 + 3 − 4 + … sorozat összegét , akkor ez az összeg 1 ⁄ 4 . Sőt, mert:

{\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+ 3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5) +\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}

ez a módszer megadja a Grandi-sorozat összegét is , amely egyenlő lesz : 1–1 + 1–1 + … = 1⁄2 .

Cauchy terméke

Ernesto Cesaro 1891-ben reményét fejezte ki, hogy az eltérő sorozatok elemzése önszámítást eredményez , rámutatva: „Írja már

{(1-1+1-1+\pontok )}^{2}=1-2+3-4+\lpont

és állítsa, hogy mindkét fél egyenlő ." [3] :130 . Cesaro számára ez a kifejezés az általa egy évvel korábban publikált tétel alkalmazása volt, amely az összeadható divergens sorozatok történetének első tételének tekinthető. Ennek az összegzési módszernek a részletei az alábbiakban találhatók ; a fő ötlet az, hogy mi van a Cauchy terméken . $1/4$ $1-2+3-4+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$

A Cauchy-szorzat két végtelen sorozatra akkor is definiálva van, ha mindkettő eltér. Abban az esetben, ha

\sum {a_{n}}=\sum {b_{n}}=\sum {{(-1)}^{n}},

a Cauchy-szorzat tagjait a véges átló összegéből kapjuk:

{\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}=\sum _{{k= 0}}^{n}(-1)^{k}(-1)^{{nk}}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}( -1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{tömb}}

És akkor a kapott sorozat: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\lpont .$

Ezért az összegzési módszer, amely megőrzi a Cauchy-szorzatot és megadja az összeget

1-1+1-1+\ldots ={\frac {1}{2)),

is megadja az összeget

1-2+3-4+\ldots ={\frac {1}{4)).

Az előző részben kapott eredményeket felhasználva ez az összegezhetőség egyenértékűségét jelenti lineáris, stabil és a Cauchy - szorzatot megőrző összegzési módszerek alkalmazásakor. $1-1+1-1+\ldots$ $1-2+3-4+\ldots$

Cesaro tétele csak egy példa. Sor

1-1+1-1+\ldots

a Cesaro gyengébb értelemben összegezhető, és az úgynevezett -összegező , while $(C,\;1)$

1-2+3-4+\ldots

a Cesaro-tétel [1] :3 [4] :52-55 erősebb formáját igényli, és -összegezhetőnek nevezik . Mivel a Cesaro összegzési módszer minden formája lineáris és stabil, az összegek értékei a fentiek szerint vannak kiszámítva. ${\megjelenítési stílus (C,2)}$

Privát módszerek

Cesaro és Hölder módszere

A Cesaro-összeg (C, 1) megtalálásához 1 − 2 + 3 − 4 + … esetén, ha létezik, ki kell számítani a sorozat részösszegeinek számtani középértékét . A részösszegek a következők:

1, -1, 2, -2, 3, -3, ...,

és számtani átlaguk:

1, 0, 2 ⁄ 3 , 0, 3 ⁄ 5 , 0, 4 ⁄ 7 , ….

A sorozat nem konvergál, így 1 − 2 + 3 − 4 + … nem Cesaro összegezhető.

A Cesaro-összegzésnek két jól ismert általánosítása van: a fogalmilag egyszerűbb a metódusok sorozata (H, n ) az n természetes számokra , ahol az összeg (H, 1) a Cesaro-összegzés, és a magasabb módszereket kapjuk. a Cesaro összegzési módszer ismételt alkalmazásával. A fenti példában a páros átlagok 1⁄2-hez konvergálnak, míg a páratlanok nullák, így a számtani középértékek számtani átlaga a nulla és 1⁄2 közötti átlaghoz konvergál , ami 1⁄4 [ 1 ] : 9 [ 4] :17 -18 Tehát 1 − 2 + 3 − 4 + … (H, 2) 1 ⁄ 4 összeget ad .

A "H" Hölder Ottó nevének rövidítése , aki 1882-ben elsőként bizonyította be azt, amit a matematikusok ma az Abel-módszerrel történő összegzés és az összegzés (H, n ) kapcsolatának tekintenek; az 1 − 2 + 3 − 4 + ... sorozatot használta első példaként. [3] :118 [5] :10 Az a tény, hogy 1 ⁄ 4 az 1 − 2 + 3 − 4 + … sorozat összege (H, 2), biztosítja, hogy ez is Abel-összeg; ezt az alábbiakban közvetlenül bizonyítjuk.

A Cesaro-összegzés másik gyakran emlegetett általánosítása a módszerek sorozata (C, n ). Bebizonyosodott, hogy (C, n ) és (H, n ) összegzése ugyanazt az eredményt adja, de eltérő előzményekkel rendelkezik. 1887-ben Cesaro közel került az összegzés (C, n ) meghatározásához, de néhány példára szorítkozott. Konkrétan az 1 ⁄ 4 összeget kapta 1 − 2 + 3 − 4 + … -re egy olyan módszerrel, amely újrafogalmazható volt (C, n ), de akkoriban nem észlelték annak. Formálisan 1890-ben definiálta a (C, n) módszereket, hogy megfogalmazza azt a tételét, amely szerint egy (C, n )-összegező és egy (C, m )-összegező sorozat szorzata (C, m + n + 1)- összefoglalható . [3] :123-128

Ábel összegzés

Egy 1749-es jelentésben Euler elismerte, hogy a sorozatok eltérnek egymástól, de úgy is tervezte, hogy megtalálja az összeget:

…amikor azt mondták, hogy az 1–2+3–4+5–6 stb. sorozatok összege 1 ⁄ 4 , az bizonyára paradoxnak tűnt. A sorozat 100 tagját összeadva -50-et kapunk, de 101 tag összege +51-et ad, ami nagyon eltér 1 ⁄ 4 -től , és a tagok számának növekedésével még jobban eltér. De már korábban is észrevettem, hogy az összeg szónak tágabb értelmet kell adni.... [6] :2

Euler többször javasolta a "sorozat összege" fogalmának általánosítását. Az 1 − 2 + 3 − 4 + … esetében az elképzelései hasonlóak ahhoz, amit ma Ábel összegzési módszerének neveznek:

... már nem kétséges, hogy az 1−2+3−4+5 + stb. sorozat összege 1 ⁄ 4 ; mivel ez az 1 ⁄ (1+1) 2 képlet feltárásából következik , amelynek értéke kétségtelenül 1 ⁄ 4 . Az elképzelés világosabbá válik, ha figyelembe vesszük az 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + 5 x 4 − 6 x 5 + stb. általánosított sorozatot . az 1 ⁄ (1+ x ) 2 kifejezés kibővítéséből adódik , amelyre ez a sorozat ekvivalens lesz, miután x = 1 -et rendelünk . [6] :3, 25

Számos módja van annak megállapítására, hogy mit legalább az abszolút értékek | x | < 1, Eulernek igaza van

1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.

Megnyithatja a jobb oldalt Taylor szerint, vagy alkalmazhatja a polinomok oszlopos osztásának formális folyamatát [7] :23 . A bal oldalról kiindulva használhatjuk a fenti általános heurisztikát és szorozhatjuk (1+ x ) önmagával [8] , vagy négyzetezhetjük az 1 − x + x 2 − … sorozatot . Nyilvánvalóan Euler is javasolta ennek a sorozatnak a terminusonkénti megkülönböztetését [6] :3, 26 .

Modern szempontból az 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + … sorozat nem definiál függvényt az x = 1 pontban, így ezt az értéket nem lehet egyszerűen behelyettesíteni a kapott kifejezésbe. Mivel a függvény minden | x | < 1, akkor a határértéket úgy számíthatjuk ki, hogy x egyhez hajlik, és ez lesz az Abel-összeg definíciója:

\lim _{{x\rightarrow 1-0}}\sum _{{n=1}}^{\infty }n(-x)^{{n-1}}=\lim _{{x\rightarrow 1-0}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac 14}.

Euler és Borel

Euler másként közelítette meg a sorozatokat: az Euler-transzformációt , az egyik találmányát. Az Euler-transzformáció kiszámításához pozitív tagok sorozatával kell kezdeni - ebben az esetben 1, 2, 3, 4, .... Ennek a sorozatnak az első tagját 0 - val jelöljük .

Ezután meg kell kapnia egy véges különbségek sorozatát 1, 2, 3, 4, ... között ; ez csak 1, 1, 1, 1,…. Ennek az új sorozatnak az első eleme Δ a 0 . Az Euler-transzformáció a különbségek és a magasabb iterációk különbségétől is függ, de 1, 1, 1, 1, ... minden különbsége 0. Ebben az esetben az Euler-transzformáció 1 − 2 + 3 − 4 + esetén. .. meghatározása a következő:

{\frac 12}a_{0}-{\frac 14}\Delta a_{0}+{\frac 18}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac 12}-{\frac tizennégy}.

A modern terminológiában 1 − 2 + 3 − 4 + … Euler-összegezhetőnek nevezik, amelynek összege 1 ⁄ 4 .

Az Euler-összegezhetőség egy másik fajta összegzést is jelent. 1 − 2 + 3 − 4 + … as

\sum _{{k=0}}^{\infty }a_{k}=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),

minden pontban konvergáló sorozatot kapunk:

a(x)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!)}}= e ^{{-x}}(1-x).

Így az 1 − 2 + 3 − 4 + … sorozat Borel összege [4] :59 :

\int _{0}^{\infty }e^{{-x}}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{{-2x}}(1-x )\,dx={\frac 12}-{\frac 14}.

Mérlegek szétválasztása

Szaicsev és Voicsinszkij két fizikai elv alkalmazásával jutott el az 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 értékhez: az infinitezimálisok elutasítása és a skálák felosztása . Pontosabban, ezek az elvek segítettek nekik a „ φ -összegzési módszerek” széles családjának megfogalmazásában, amelyek mindegyike 1⁄4- et tesz ki :

Ha φ ( x ) egy olyan függvény, amelynek első és második deriváltja folyamatosan integrálható (0, ∞), úgy, hogy φ(0) = 1, és a φ( x ) és x φ( x ) határértékek +∞ mindkettő nulla, akkor [9] :260-264 :

\lim _{{\delta \rightarrow 0}}\sum _{{m=0}}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\ frac 14}.

Ez az eredmény az Abel-összegzés általánosítása, amelyet φ ( x ) = exp(− x ) helyettesítésével kapunk. Az általános állítás igazolható az m sorozat tagpárjainak csoportosításával és a kifejezés Riemann integrállá alakításával . Az utolsó lépésben az 1 − 1 + 1 − 1 + … megfelelő bizonyítása a Lagrange-féle átlagérték tételt alkalmazza , de ehhez a Taylor-tétel erősebb Lagrange-formája szükséges .

A sorozat általánosításai

Az 1 − 1 + 1 − 1 + … sorozat hármas Cauchy-szorzata az 1 − 3 + 6 − 10 + … sorozatot adja, háromszögszámok váltakozó sorozata , Abel- és Euler - összegei 1⁄8 . [10] :313 Az 1 − 1 + 1 − 1 + … sorozat Cauchy-négyes szorzata az 1 − 4 + 10 − 20 + … sorozatot adja, amely tetraéderszámok váltakozó sorozata, amelynek Abel-összege 1 ⁄ 16 .

Az 1 − 2 + 3 − 4 + … sorozatnak egy másik általánosítása is lehetséges egy kicsit más irányban: ez az 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … sorozat családja n többi értékére . Pozitív n esetén egy ilyen sorozatnak a következő Abel-összege van:

1-2^{{n}}+3^{{n}}-\cdots ={\frac {2^{{n+1}}-1}{n+1}}B_{{n+1} }

ahol B n Bernoulli - számok . Még n esetén ez értékre csökken

1-2^{{2k}}+3^{{2k}}-\cdots =0.

Ez utóbbi összeg Niels Abel nevetség tárgyává vált 1826-ban:

„Az eltérő sorok teljes egészében az ördög műve, és szégyen mindenkire, aki bizonyítékot próbál találni rájuk. Kihozhatod belőlük, amit akarsz, és ők teremtettek annyi gyászt és paradoxont. Lehet-e szörnyűbb, mint ezt kimondani

0 = 1 − 2n + 3n − 4n + stb.

ahol n egy pozitív szám. Van itt min nevetni, barátaim. [11] :80

Cesaro tanára, Eugène Catalan szintén elutasító volt az eltérő sorozatokkal kapcsolatban. A katalán befolyása alatt Cesaro kezdetben az 1 − 2 n + 3 n − 4 n + ... sorozat "feltételes képleteit" "abszurd kifejezésként" jellemezte, és 1883-ban Cesaro kifejezte azt az általánosan elfogadott nézetet, hogy ezek a formulák hibás, de valamilyen módon formálisan hasznos lehet. Végül Cesaro 1890-es Sur la multiplication des séries című munkájában egy modern megközelítéshez jutott, kezdve a definíciókkal [3] :120-128 .

Sorozatokat is megvizsgáltunk n nem egész értékére ; adják a Dirichlet eta-függvényt . Euler motivációjának része az 1 − 2 + 3 − 4 + … sorozathoz kapcsolódó sorozatok tanulmányozására az eta függvény funkcionális egyenlete, amely közvetlenül a Riemann zéta függvény funkcionális egyenletéhez vezet. Euler már arról volt híres, hogy megtalálta ezeknek a függvényeknek az értékeit pozitív páros egész számokra (beleértve a bázeli feladat megoldását is ), és megpróbált értékeket találni a pozitív páratlan egész számokra is (beleértve az Apéry-féle állandót is ) – ez a probléma még nem sikerült. a mai napig megoldva. Valamivel könnyebb az Euler-módszerekkel dolgozni ezzel a függvénnyel, mert a Dirichlet - sorai mindenhol Abel-összesíthetőek; A zéta-függvény Dirichlet-sorait sokkal nehezebb összefoglalni, hol térnek el [6] :20-25 . Például a zéta függvényben szereplő 1 − 2 + 3 − 4 + … a fix előjelű 1 + 2 + 3 + 4 + … sorozatnak felel meg , amelyet a modern fizikában használnak , de sokkal erősebb összegzési módszereket igényel.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Hardy, GH Divergent Series . - Oxford University Press , 1949 .:
↑ Beals, Richard. Elemzés: bevezetés (neopr.) . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0-521-60047-2 .
↑ 1 2 3 4 Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of a 20th Century Mathematics (angol) // Archive for History of Exact Sciences : folyóirat. - 1999. - június ( 54. köt. , 2. sz.). - P. 101-135 . - doi : 10.1007/s004070050036 .
↑ 1 2 3 Weidlich, John E. Summable method for divergent series (indefinite) . - Stanford MS tézisek, 1950.
↑ Tucciarone, John. Az összegezhető divergens sorozatok elméletének fejlődése 1880-tól 1925-ig (angol) // Archive for History of Exact Sciences : folyóirat. - 1973. - január ( 10. évf. , 1-2. sz. ). - P. 1-40 . - doi : 10.1007/BF00343405 .
↑ 1 2 3 4 Euler, Leonhard; Lucas Willis; és Thomas J Osler. Fordítás Euler dolgozatának jegyzeteivel: Megjegyzések a közvetlen és a kölcsönös hatványsorok gyönyörű kapcsolatához . Az Euler-archívum (2006). Letöltve: 2007. március 22. Az eredetiből archiválva : 2012. július 10. (határozatlan) ; A mű 1749-ben íródott, de eredetileg csak 1968-ban jelent meg: Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (francia) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin: magazin. - 1768. - Kt. 17 . - 83-106 . o .
↑ Lavine, Shaughan. A végtelen megértése (neopr.) . - Harvard University Press , 1994. - ISBN 0-674-92096-1 .
↑ Vretblad, Anders. Fourier-analízis és alkalmazásai (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 0-387-00836-5 .
↑ Saichev, A. I. és W. A. Woyczyński. Megoszlások a fizikai és műszaki tudományokban, 1. kötet . - Birkhaüser, 1996. - ISBN 0-8176-3924-1 .
↑ Kline, Morris Euler and Infinite Series (angol) // Mathematics Magazine : magazin. - 1983. - november ( 56. évf. , 5. sz.). - P. 307-314 . - doi : 10.2307/2690371 .
↑ Grattan-Guinness, Ivor A matematikai elemzés alapjainak fejlődése Eulertől Riemannig . - MIT Press , 1970. - ISBN 0-262-07034-0 .

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor