Taylor tétele közelítést ad egy k -szeres differenciálható függvényhez egy adott pont közelében egy k - edik Taylor - polinom segítségével. Az analitikus függvények esetében a Taylor-polinom egy adott pontban a Taylor -soruk részösszege , amely viszont teljesen meghatározza a függvényt a pont valamely környezetében. Taylor tételének pontos tartalmában eddig nem sikerült megegyezni. Természetesen a tételnek több változata is alkalmazható különböző helyzetekben, és ezek némelyike becsléseket tartalmaz a függvény Taylor-polinom segítségével történő közelítésekor fellépő hibára.
Ezt a tételt Brooke Taylor matematikusról nevezték el , aki 1712-ben megfogalmazta az egyik változatát. Joseph Lagrange sokkal később adott egy explicit kifejezést a közelítési hibára . Korábban, 1671-ben James Gregory már említette a tétel következményét.
A Taylor-tétel lehetővé teszi a belépő szintű számítások technikáinak elsajátítását, és a matematikai elemzés egyik központi elemi eszköze . A matematika tanulmányozásában ez az aszimptotikus elemzés tanulmányozásának kiindulópontja . A tételt a matematikai fizikában is használják . Ezenkívül általánosít számos változó függvényére és vektorfüggvényre bármely dimenzióhoz és . Taylor tételének ez az általánosítása az úgynevezett jetek definíciójának alapja , amelyek a differenciálgeometriában és a parciális differenciálegyenletek elméletében jelennek meg .
Ha egy f(x) valós értékű függvény differenciálható az a pontban , akkor lineáris közelítése van az a pontban . Ez azt jelenti, hogy van olyan h 1 függvény , hogy
Itt
ez az f függvény lineáris közelítése az a pontban . Az y = P 1 ( x ) függvény grafikonja érinti az f függvény grafikonját az x = a pontban . A közelítési hiba az
Figyeljük meg, hogy a hiba valamivel gyorsabban közelíti a nullát, mint az x − a különbség , amikor x közeledik a .
Ha f -nek jobb közelítést keresünk , akkor lineáris függvény helyett másodfokú polinomot is használhatunk. Ahelyett, hogy f deriváltját keresnénk az a pontban , két deriváltot találhatunk, így olyan polinomot kapunk, amely f -hez hasonlóan növekszik (vagy csökken), és f -hez hasonlóan konvexitása (vagy konkávsága) van az a pontban . A másodfokú polinom (négyzet polinom) ebben az esetben így fog kinézni:
Taylor tétele lehetővé teszi annak igazolását, hogy a másodfokú közelítés az a pont kellően kis környezetében jobb közelítés, mint a lineáris. Különösen,
Itt van a közelítési hiba
amely, ha h 2 korlátos , gyorsabban közelíti a nullát, mint a nullához ( x − a ) 2 , amikor x megközelíti a .
Így továbbra is jobb közelítéseket kapunk f -hez, ha egyre magasabb fokú polinomokat használunk . Általánosságban elmondható, hogy a függvény k rendű polinomokkal való közelítésének hibája valamivel gyorsabban közelíti meg a nullát, mint ( x − a ) k nullához , amikor x közeledik a -hoz .
Ez a következmény természeténél fogva aszimptotikus: csak azt mondja meg, hogy a k-edrendű Taylor-polinomokkal való Pk közelítés R k hibája gyorsabban közelíti meg a nullát , mint egy nem nulla k -edik rendű polinom , ha x → a . Nem árulja el , hogy mekkora a hiba a közelítés középpontjának bármely szomszédságában, de erre van egy képlet a maradékra (lásd alább).
A Taylor-tétel legteljesebb változatai általában egységes becsléseket adnak a közelítési hibára a közelítés középpontjának egy kis környezetében, de ezek a becslések nem megfelelőek a túl nagy környékekre, még akkor sem, ha az f függvény analitikus . Ebben a helyzetben több Taylor-polinomot kell választani különböző közelítési középpontokkal, hogy megbízható Taylor-közelítést kapjunk az eredeti függvényhez (lásd a fenti animált ábrát). Az is előfordulhat, hogy a polinom sorrendjének növelése egyáltalán nem javítja a közelítés minőségét, még akkor sem, ha az f függvényt végtelen sokszor differenciáljuk. Az alábbiakban egy ilyen példát mutatunk be.
A tétel legtöbb alapvető változatának pontos megfogalmazása a következő.
A Taylor-tételben előforduló polinom a k - edik Taylor-polinom
f függvény az a pontban .
Taylor tétele leírja a maradék tag aszimptotikus viselkedését
ami hiba az f függvény Taylor-polinomok segítségével történő közelítésében. "O" nagy és "o" kicsi használatával Taylor tétele a következőképpen fogalmazható meg
A Taylor-polinom R k maradék tagjára több pontos képlet létezik , amelyek közül a legáltalánosabb a következő.
A Taylor-tétel ezen finomításait rendszerint a véges növekmény képletével vezetik le .
A maradékra más kifejezéseket is találhat. Például, ha G ( t ) folytonos egy zárt intervallumon, és differenciálható egy nem eltűnő deriválttal az a és x közötti nyitott intervallumon , akkor
valamely a és x közötti ξ számra . Ez a változat a Lagrange- és a Cauchy-alakot speciális esetekként fedi le, és a Cauchy-féle átlagérték-tétellel ( a Lagrange-féle átlagérték-tétel kiterjesztett változata ) származik.
A maradék képletének integrál formában történő megírása általánosabb, mint az előző formulák, és megköveteli a Lebesgue-féle integrálelmélet megértését . Ez azonban a Riemann-integrálra is érvényes, feltéve, hogy f ( k +1) rendű deriváltja folytonos az [ a , x ] zárt intervallumon.
Az f ( k ) abszolút folytonossága miatt az a és x közötti zárt intervallumon az f ( k +1) deriváltja L 1 -függvényként létezik , és ez a következmény a Newton-Leibniz tételt használó formális számításokkal levonható. és részenkénti integráció .
A gyakorlatban gyakran hasznos a Taylor-közelítés maradékának numerikus becslése.
Feltételezzük, hogy f ( k + 1)-szer folytonosan differenciálható egy a -t tartalmazó I intervallumon . Feltételezzük, hogy vannak q és Q valós állandó számok , amelyekre
egész I. _ Ekkor a maradék tag kielégíti az egyenlőtlenséget [5]
ha x > a , és hasonló becslés ha x < a . Ez a maradék formula Lagrange-formájának egyszerű következménye. Különösen, ha
az I = ( a − r , a + r ) intervallumon , ahol valamilyen r >0, akkor
minden x ∈( a − r , a + r ). A második egyenlőtlenséget egységes becslőnek nevezzük, mert megőrzi az egyenletességet az ( a − r , a + r ) intervallum összes x -ére .
Tegyük fel, hogy meg akarjuk találni az f ( x ) = e x függvény közelítését a [−1,1] intervallumon , és ügyeljünk arra, hogy a hiba ne haladja meg a 10 −5 értéket . Ebben a példában feltételezzük, hogy ismerjük az exponenciális függvény következő tulajdonságait:
Ezek a tulajdonságok azt jelentik, hogy f ( k ) ( x ) = e x minden k esetén, és különösen f ( k ) (0) = 1 . Ebből következik, hogy az f függvény k -edrendű Taylor-polinomját a 0 pontban és maradék tagját Lagrange alakban a képlet adja meg.
ahol ξ egy 0 és x közötti szám . Mivel e x a (*) szerint növekszik, használhatjuk e x ≤ 1 x ∈ [−1, 0] esetén a [−1, 0] részintervallum maradékának becslésére. A [0,1] intervallum maradékának felső korlátjának meghatározásához az e ξ << e x tulajdonságot használhatjuk 0< ξ<x esetén a becsléshez.
másodrendű Taylor-polinom segítségével. Ebből az egyenlőtlenségből e x -et kifejezve arra a következtetésre jutunk
feltételezve, hogy a számláló az összes lehetséges értékéből a maximumot, a nevező pedig az összes lehetséges érték közül a minimumot veszi fel. Az e x értékeinek ezen becsléseit felhasználva azt látjuk
és a szükséges pontosságot mindenképpen akkor érjük el
(ahol a faktoriális 7!=5040 és 8!=40320.) Végső soron Taylor tétele vezet a közelítéshez
Megjegyezzük, hogy ez a közelítés lehetővé teszi, hogy az e ≈2,71828 értékét az ötödik tizedesjegyig terjedő pontossággal számítsuk ki.
Legyen nyitott intervallum . Definíció szerint egy függvény akkor valódi analitikus , ha egy adott területen egy hatványsor konvergenciája határozza meg . Ez azt jelenti, hogy mindegyikre van valamilyen r > 0 és c k ∈ R együtthatók sorozata úgy, hogy ( a − r , a + r ) ⊂ I és
Általában sugara kiszámítható Cauchy–Hadamard képlet segítségével
Ez az eredmény egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióval való összehasonlításon alapul, és ugyanez a módszer azt mutatja, hogy ha egy a -ben kiterjesztett hatványsor valamilyen b ∈ R értékre konvergál, akkor egyenletesen kell konvergálnia a zárt intervallumon [ a − r b , a + r b ] , ahol r b = | b - a |. Itt csak a hatványsorok konvergenciáját vettük figyelembe, és lehetséges, hogy az ( a − R , a + R ) tartomány túlmutat az f függvény I tartományán .
Taylor-polinom egy f valós analitikus függvényben egy a pontban
egy adott intervallumon definiált függvény megfelelő hatványsorának egyszerű csonkítása, az intervallum maradék tagját pedig az analitikus függvény adja
Itt a funkció
szintén analitikus, mivel hatványsora megegyezik az eredeti sorozatéval. Feltéve, hogy [ a − r , a + r ] ⊂ I és r < R , ezek a sorozatok egyenletesen konvergálnak az ( a − r , a + r ) intervallumon . Természetesen analitikus függvények esetén meg lehet becsülni az R k ( x ) maradék tagot az f′ ( a ) derivált sorozat „levágásával” a közelítés középpontjában, de komplex elemzés alkalmazásakor más lehetőségek jelennek meg, amelyeket az alábbiakban ismertetünk.
Ellentmondás van a differenciálható függvények Taylor-polinomjai és az analitikus függvények Taylor-sorozata között . Megfontolható (meglehetősen) a Taylor sorozat
végtelen számú differenciálható f : R → R függvény, mint a "végtelen rendű Taylor-polinom" az a pontban . Most a Taylor-polinom maradékának becslése azt jelenti, hogy bármely k rendre és bármely r >0-ra van egy olyan M k,r >0 állandó ,
minden x ∈( ar, a+r ). Néha ezek az állandók úgy is megválaszthatók, hogy M k,r → 0 mint k → ∞ és r változatlan marad. Ekkor az f függvény Taylor-sora egyenletesen konvergál valamilyen analitikus függvényhez
Itt fontos megemlíteni egy finom pontot . Lehetséges, hogy egy végtelenül sokszor differenciálható f függvénynek van egy Taylor-sora az a pontban , amely az a pont valamely nyitott környezetében konvergál , de a T f határfüggvény eltér f -től . Ennek a jelenségnek fontos példája az
A láncszabály segítségével induktívan megmutathatjuk , hogy bármely k sorrendre ,
valamilyen p k polinomra . A függvény gyorsabban nullázódik, mint bármely polinom, ha x → 0 , akkor f végtelenül differenciálható és f ( k ) (0) = 0 minden k pozitív egész számra . Most az f függvény Taylor-polinomjának maradékára vonatkozó becslések azt mutatják, hogy a Taylor-sor egyenletesen konvergál a nulla függvényhez a teljes valós szám tengelyén. A következő állításokban nem lesz hiba:
Taylor tétele olyan függvényeket általánosít , amelyek komplexen differenciálhatók a komplex sík U ⊂ C nyitott részhalmazán . Hasznosságát azonban csökkentik a komplex elemzés más tételei , nevezetesen: hasonló eredmények teljesebb változatai származtathatók az f : U → C komplexen differenciálható függvényekre a Cauchy-integrál formula segítségével , ahogy az alábbiakban látható.
Legyen r > 0 úgy, hogy a B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) zárt kört U tartalmazza . Ekkor az S ( z, r ) kör pozitív paraméterezésű γ ( t )= re it Cauchy-integrálja t ∈ [0,2 π ] értékkel adja
Itt minden integrandus folytonos az S körön ( z , r ), ami indokolja a differenciálást az integráljel alatt . Konkrétan, ha f egyszer komplex differenciálható egy nyitott U halmazon , akkor valójában végtelen számú komplex differenciálható U -n. Megvan a Cauchy-becslés [6]
bármely z ∈ U és r > 0 esetén úgy, hogy B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Ezek a becslések arra utalnak, hogy az összetett Taylor-sorozat
f függvény egyenletesen konvergál tetszőleges B ( c , r ) ⊂ U és S ( c , r ) ⊂ U valamelyik T f függvényében . Ezenkívül az f ( k ) ( c ) derivált kontúrintegrációs képletét használva,
így bármilyen komplex differenciálható f függvény egy nyitott U ⊂ C halmazon komplex analitikus . Mindaz, amit fentebb a valós analitikus függvényekre írtunk, igaz az összetett analitikus függvényekre is, ahol az I nyitott intervallumot egy nyitott U ∈ C részhalmaz helyettesíti, az a - középpontú intervallumokat ( a - r , a + r ) pedig c - középpontos körök B ( c , r ). Különösen a Taylor-bővítést őrizzük meg
ahol az R k maradék tag komplex analitikus. Ha a Taylor-sorozatot vesszük figyelembe, a komplex elemzés módszerei valamivel erőteljesebb eredmények elérését teszik lehetővé. Például, ha egy integrál képletet használunk bármely pozitívan orientált γ Jordan-görbére , amely paraméterezi a W ⊂ U tartomány ∂ W ⊂ U határát , megkaphatjuk az f ( j ) ( c ) deriváltjainak kifejezését, amint az fent látható, és enyhén változtassuk meg a T f ( z ) = f ( z ) számításait, kapjuk meg a pontos képletet
Itt egy fontos jellemző, hogy a Taylor-polinom közelítés minőségét a W ⊂ U tartományban az f függvény értékei dominálják a ∂ W ⊂ U határon . Ezenkívül a Cauchy-becsléseket a sorozat hátralévő részének kifejezésére alkalmazva egységes becsléseket kapunk
f : egyenlettel definiált R → R függvény
valódi analitikus , vagyis az adott tartományban a Taylor-sor határozza meg. Az egyik fenti ábra azt mutatja, hogy néhány nagyon egyszerű függvény nem fejezhető ki Taylor-közelítéssel a közelítés középpontjának közelében, ha ez a környék túl nagy. Ez a tulajdonság komplex elemzés keretében könnyen megérthető. Pontosabban, az f függvény meromorf függvénysé bővül
a tömörített komplex síkon. Egyszerű tengelyei vannak a z = i és z = − i pontokban , és mindenhol analitikus. A z 0 középpontú Taylor sorozata bármely B ( z 0 , r ) körhöz konvergál , ahol r <| zz 0 |, ahol ugyanaz a Taylor-sor konvergál z ∈ C esetén . Ennek eredményeként az f függvény 0 középpontú Taylor-sora B - hez (0,1) konvergál, és nem konvergál egyetlen z ∈ C esetén sem | z |>1 tengelyek jelenléte miatt az i és -i pontokban . Ugyanebből az okból kifolyólag az f függvény Taylor-sora, amelynek középpontja 1, B - hez (1,√2) konvergál, és nem konvergál egyetlen z ∈ C esetén sem | z -1|>√2.
Egy f : R n → R függvény akkor és csak akkor differenciálható egy a ∈ R n pontban , ha létezik L : R n → R lineáris forma és h : R n → R függvény , hogy
Ha ez az eset teljesül, akkor L = df ( a ) az f függvény differenciálja az a pontban . Ezenkívül, ha az f függvény parciális deriváltjai az a pontban léteznek , akkor az f differenciálját az a pontban a képlet adja meg.
Bemutatjuk a többindexet , írjuk
α ∈ N n és x ∈ R n esetén . Ha egy f : R n → R k -edrendű parciális deriváltja folytonos a ∈ R n pontban , akkor Clairaut tétele alapján meg lehet változtatni a vegyes deriváltok sorrendjét egy a pontban , majd felírva .
magasabb rendű részleges származékok esetében ebben a helyzetben jogos. Ugyanez igaz, ha az f függvény összes ( k − 1)-edrendű parciális deriváltja az a pont valamelyik szomszédságában létezik, és az a pontban differenciálható . Ekkor azt mondhatjuk, hogy az f függvény k -szor differenciálható az a pontban .
Ha egy f : R n → R függvény k + 1-szer folytonosan differenciálható egy zárt B gömbben , akkor pontos képletet kaphatunk f ( k + 1)-edrendű Taylor-kiterjesztésének maradékára ezen a környéken. Ugyanis
Ebben az esetben a ( k + 1)-edrendű parciális deriváltok folytonossága miatt a B kompakt halmazon közvetlenül kapjuk
Legyen [7]
ahol a Taylor-tétel megfogalmazása szerint
Ezt elég megmutatni
A bizonyíték a L'Hospital szabályának ismételt alkalmazásán alapul . Figyeljük meg, hogy mindegyik j = 0,1,…, k −1 , . Ezért a függvény számlálójának minden további deriváltja nullára hajlik a pontban , és ugyanez igaz a nevezőre is. Akkor
ahol az utolsó előtti kifejezésről az utolsóra való átmenet az x = a pont szerinti derivált definíciójából következik .