Taylor-tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. február 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 12 szerkesztést igényelnek . Ez a cikk a differenciálható függvények Taylor-polinomjairól szól . Az analitikai függvények Taylor sorozatával kapcsolatban lásd a megfelelő cikket.

Taylor tétele közelítést ad egy k -szeres differenciálható függvényhez egy adott pont közelében egy k - edik Taylor - polinom segítségével. Az analitikus függvények esetében a Taylor-polinom egy adott pontban a Taylor -soruk részösszege , amely viszont teljesen meghatározza a függvényt a pont valamely környezetében. Taylor tételének pontos tartalmában eddig nem sikerült megegyezni. Természetesen a tételnek több változata is alkalmazható különböző helyzetekben, és ezek némelyike becsléseket tartalmaz a függvény Taylor-polinom segítségével történő közelítésekor fellépő hibára.

Ezt a tételt Brooke Taylor matematikusról nevezték el , aki 1712-ben megfogalmazta az egyik változatát. Joseph Lagrange sokkal később adott egy explicit kifejezést a közelítési hibára . Korábban, 1671-ben James Gregory már említette a tétel következményét.

A Taylor-tétel lehetővé teszi a belépő szintű számítások technikáinak elsajátítását, és a matematikai elemzés egyik központi elemi eszköze . A matematika tanulmányozásában ez az aszimptotikus elemzés tanulmányozásának kiindulópontja . A tételt a matematikai fizikában is használják . Ezenkívül általánosít számos változó függvényére és vektorfüggvényre bármely dimenzióhoz és . Taylor tételének ez az általánosítása az úgynevezett jetek definíciójának alapja , amelyek a differenciálgeometriában és a parciális differenciálegyenletek elméletében jelennek meg . ${\displaystyle f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\jobbra \mathbb {R} ^{m))$ $n$ $m$

A tétel bevezetésének előfeltételei

Ha egy f(x) valós értékű függvény differenciálható az a pontban , akkor lineáris közelítése van az a pontban . Ez azt jelenti, hogy van olyan h 1 függvény , hogy

f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + h_1(x)(xa), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

Itt

P_1(x) = f(a) + f'(a)(xa) \

ez az f függvény lineáris közelítése az a pontban . Az y = P 1 ( x ) függvény grafikonja érinti az f függvény grafikonját az x = a pontban . A közelítési hiba az

R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(xa). \

Figyeljük meg, hogy a hiba valamivel gyorsabban közelíti a nullát, mint az x − a különbség , amikor x közeledik a .

Ha f -nek jobb közelítést keresünk , akkor lineáris függvény helyett másodfokú polinomot is használhatunk. Ahelyett, hogy f deriváltját keresnénk az a pontban , két deriváltot találhatunk, így olyan polinomot kapunk, amely f -hez hasonlóan növekszik (vagy csökken), és f -hez hasonlóan konvexitása (vagy konkávsága) van az a pontban . A másodfokú polinom (négyzet polinom) ebben az esetben így fog kinézni:

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2}}(xa)^{2}.

Taylor tétele lehetővé teszi annak igazolását, hogy a másodfokú közelítés az a pont kellően kis környezetében jobb közelítés, mint a lineáris. Különösen,

f(x) = P_2(x) + h_2(x)(xa)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.

Itt van a közelítési hiba

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(xa)^2 \

amely, ha h 2 korlátos , gyorsabban közelíti a nullát, mint a nullához ( x − a ) 2 , amikor x megközelíti a .

Így továbbra is jobb közelítéseket kapunk f -hez, ha egyre magasabb fokú polinomokat használunk . Általánosságban elmondható, hogy a függvény k rendű polinomokkal való közelítésének hibája valamivel gyorsabban közelíti meg a nullát, mint ( x − a ) k nullához , amikor x közeledik a -hoz .

Ez a következmény természeténél fogva aszimptotikus: csak azt mondja meg, hogy a k-edrendű Taylor-polinomokkal való Pk közelítés R k hibája gyorsabban közelíti meg a nullát , mint egy nem nulla k -edik rendű polinom , ha x → a . Nem árulja el , hogy mekkora a hiba a közelítés középpontjának bármely szomszédságában, de erre van egy képlet a maradékra (lásd alább).

A Taylor-tétel legteljesebb változatai általában egységes becsléseket adnak a közelítési hibára a közelítés középpontjának egy kis környezetében, de ezek a becslések nem megfelelőek a túl nagy környékekre, még akkor sem, ha az f függvény analitikus . Ebben a helyzetben több Taylor-polinomot kell választani különböző közelítési középpontokkal, hogy megbízható Taylor-közelítést kapjunk az eredeti függvényhez (lásd a fenti animált ábrát). Az is előfordulhat, hogy a polinom sorrendjének növelése egyáltalán nem javítja a közelítés minőségét, még akkor sem, ha az f függvényt végtelen sokszor differenciáljuk. Az alábbiakban egy ilyen példát mutatunk be.

Taylor tétele egy valós változó függvényeihez

tétel állítása

A tétel legtöbb alapvető változatának pontos megfogalmazása a következő.

A Taylor-tételben előforduló polinom a k - edik Taylor-polinom

P_k(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k

f függvény az a pontban .

Taylor tétele leírja a maradék tag aszimptotikus viselkedését

\ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

ami hiba az f függvény Taylor-polinomok segítségével történő közelítésében. "O" nagy és "o" kicsi használatával Taylor tétele a következőképpen fogalmazható meg

R_k(x) = o(|xa|^k), \qquad x\to a.

Képletek a maradékhoz

A Taylor-polinom R k maradék tagjára több pontos képlet létezik , amelyek közül a legáltalánosabb a következő.

A Taylor-tétel ezen finomításait rendszerint a véges növekmény képletével vezetik le .

A maradékra más kifejezéseket is találhat. Például, ha G ( t ) folytonos egy zárt intervallumon, és differenciálható egy nem eltűnő deriválttal az a és x közötti nyitott intervallumon , akkor

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G' (\xi)}

valamely a és x közötti ξ számra . Ez a változat a Lagrange- és a Cauchy-alakot speciális esetekként fedi le, és a Cauchy-féle átlagérték-tétellel ( a Lagrange-féle átlagérték-tétel kiterjesztett változata ) származik.

A maradék képletének integrál formában történő megírása általánosabb, mint az előző formulák, és megköveteli a Lebesgue-féle integrálelmélet megértését . Ez azonban a Riemann-integrálra is érvényes, feltéve, hogy f ( k +1) rendű deriváltja folytonos az [ a , x ] zárt intervallumon.

Az f ( k ) abszolút folytonossága miatt az a és x közötti zárt intervallumon az f ( k +1) deriváltja L 1 -függvényként létezik , és ez a következmény a Newton-Leibniz tételt használó formális számításokkal levonható. és részenkénti integráció .

A maradék becslései

A gyakorlatban gyakran hasznos a Taylor-közelítés maradékának numerikus becslése.

Feltételezzük, hogy f ( k + 1)-szer folytonosan differenciálható egy a -t tartalmazó I intervallumon . Feltételezzük, hogy vannak q és Q valós állandó számok , amelyekre

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

egész I. _ Ekkor a maradék tag kielégíti az egyenlőtlenséget [5]

q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1) !},

ha x > a , és hasonló becslés ha x < a . Ez a maradék formula Lagrange-formájának egyszerű következménye. Különösen, ha

|f^{(k+1)}(x)|\leq M

az I = ( a − r , a + r ) intervallumon , ahol valamilyen r >0, akkor

|R_k(x)| \le M\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}

minden x ∈( a − r , a + r ). A második egyenlőtlenséget egységes becslőnek nevezzük, mert megőrzi az egyenletességet az ( a − r , a + r ) intervallum összes x -ére .

Példa

Tegyük fel, hogy meg akarjuk találni az f ( x ) = e x függvény közelítését a [−1,1] intervallumon , és ügyeljünk arra, hogy a hiba ne haladja meg a 10 −5 értéket . Ebben a példában feltételezzük, hogy ismerjük az exponenciális függvény következő tulajdonságait:

(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.

Ezek a tulajdonságok azt jelentik, hogy f ( k ) ( x ) = e x minden k esetén, és különösen f ( k ) (0) = 1 . Ebből következik, hogy az f függvény k -edrendű Taylor-polinomját a 0 pontban és maradék tagját Lagrange alakban a képlet adja meg.

P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{ (k+1)!}x^{k+1},

ahol ξ egy 0 és x közötti szám . Mivel e x a (*) szerint növekszik, használhatjuk e x ≤ 1 x ∈ [−1, 0] esetén a [−1, 0] részintervallum maradékának becslésére. A [0,1] intervallum maradékának felső korlátjának meghatározásához az e ξ << e x tulajdonságot használhatjuk 0< ξ<x esetén a becsléshez.

e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1

másodrendű Taylor-polinom segítségével. Ebből az egyenlőtlenségből e x -et kifejezve arra a következtetésre jutunk

e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \ leqx\leq 1

feltételezve, hogy a számláló az összes lehetséges értékéből a maximumot, a nevező pedig az összes lehetséges érték közül a minimumot veszi fel. Az e x értékeinek ezen becsléseit felhasználva azt látjuk

|R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1 ,

és a szükséges pontosságot mindenképpen akkor érjük el

\frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Leftrightarrow \quad k \geq 7.

(ahol a faktoriális 7!=5040 és 8!=40320.) Végső soron Taylor tétele vezet a közelítéshez

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1.

Megjegyezzük, hogy ez a közelítés lehetővé teszi, hogy az e ≈2,71828 értékét az ötödik tizedesjegyig terjedő pontossággal számítsuk ki.

Analitikus

Taylor-bővítés valódi analitikai funkciókhoz

Legyen nyitott intervallum . Definíció szerint egy függvény akkor valódi analitikus , ha egy adott területen egy hatványsor konvergenciája határozza meg . Ez azt jelenti, hogy mindegyikre van valamilyen r > 0 és c k ∈ R együtthatók sorozata úgy, hogy ( a − r , a + r ) ⊂ I és $I\subset \mathbb {R}$ $f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}$ $a\in I$

f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \cdots, \qquad |xa|<r.

Általában sugara kiszámítható Cauchy–Hadamard képlet segítségével

\frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}.

Ez az eredmény egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióval való összehasonlításon alapul, és ugyanez a módszer azt mutatja, hogy ha egy a -ben kiterjesztett hatványsor valamilyen b ∈ R értékre konvergál, akkor egyenletesen kell konvergálnia a zárt intervallumon [ a − r b , a + r b ] , ahol r b = | b - a |. Itt csak a hatványsorok konvergenciáját vettük figyelembe, és lehetséges, hogy az ( a − R , a + R ) tartomány túlmutat az f függvény I tartományán .

Taylor-polinom egy f valós analitikus függvényben egy a pontban

P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(xa)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}

egy adott intervallumon definiált függvény megfelelő hatványsorának egyszerű csonkítása, az intervallum maradék tagját pedig az analitikus függvény adja

R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(xa)^j = (xa)^k h_k(x), \qquad |xa|<r.

Itt a funkció

h_k:(ar,a+r)\to \R; \qquad h_k(x) = (xa)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(xa)^j

szintén analitikus, mivel hatványsora megegyezik az eredeti sorozatéval. Feltéve, hogy [ a − r , a + r ] ⊂ I és r < R , ezek a sorozatok egyenletesen konvergálnak az ( a − r , a + r ) intervallumon . Természetesen analitikus függvények esetén meg lehet becsülni az R k ( x ) maradék tagot az f′ ( a ) derivált sorozat „levágásával” a közelítés középpontjában, de komplex elemzés alkalmazásakor más lehetőségek jelennek meg, amelyeket az alábbiakban ismertetünk.

Taylor tétele és a Taylor-sorok konvergenciája

Ellentmondás van a differenciálható függvények Taylor-polinomjai és az analitikus függvények Taylor-sorozata között . Megfontolható (meglehetősen) a Taylor sorozat

f(x) \approx \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \ldots

végtelen számú differenciálható f : R → R függvény, mint a "végtelen rendű Taylor-polinom" az a pontban . Most a Taylor-polinom maradékának becslése azt jelenti, hogy bármely k rendre és bármely r >0-ra van egy olyan M k,r >0 állandó ,

(*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}

minden x ∈( ar, a+r ). Néha ezek az állandók úgy is megválaszthatók, hogy M k,r → 0 mint k → ∞ és r változatlan marad. Ekkor az f függvény Taylor-sora egyenletesen konvergál valamilyen analitikus függvényhez

T_f:(ar,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(xa)^k.

Itt fontos megemlíteni egy finom pontot . Lehetséges, hogy egy végtelenül sokszor differenciálható f függvénynek van egy Taylor-sora az a pontban , amely az a pont valamely nyitott környezetében konvergál , de a T f határfüggvény eltér f -től . Ennek a jelenségnek fontos példája az

f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{cases}

A láncszabály segítségével induktívan megmutathatjuk , hogy bármely k sorrendre ,

f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k))}e^{-{\frac {1} {x^{2}}}}&,x>0\\0&,x\leq 0\end{cases}}}

valamilyen p k polinomra . A függvény gyorsabban nullázódik, mint bármely polinom, ha x → 0 , akkor f végtelenül differenciálható és f ( k ) (0) = 0 minden k pozitív egész számra . Most az f függvény Taylor-polinomjának maradékára vonatkozó becslések azt mutatják, hogy a Taylor-sor egyenletesen konvergál a nulla függvényhez a teljes valós szám tengelyén. A következő állításokban nem lesz hiba: $e^{-\frac{1}{x^2}}$

Az f függvény Taylor-sora egyenletesen konvergál a T f ( x )=0 nullafüggvényhez.
A nullfüggvény analitikus, és a Taylor-sorozat minden együtthatója nulla.
Az f függvény végtelenül differenciálható, de nem analitikus.
Bármely k ∈ N és r >0 esetén létezik olyan M k, r >0, hogy az f függvény k -edrendű Taylor-polinomjának maradék tagja teljesíti a (*) feltételt.

Taylor tétele a komplex elemzésben

Taylor tétele olyan függvényeket általánosít , amelyek komplexen differenciálhatók a komplex sík U ⊂ C nyitott részhalmazán . Hasznosságát azonban csökkentik a komplex elemzés más tételei , nevezetesen: hasonló eredmények teljesebb változatai származtathatók az f : U → C komplexen differenciálható függvényekre a Cauchy-integrál formula segítségével , ahogy az alábbiakban látható. $f:\mathbb C\to\mathbb C$

Legyen r > 0 úgy, hogy a B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) zárt kört U tartalmazza . Ekkor az S ( z, r ) kör pozitív paraméterezésű γ ( t )= re it Cauchy-integrálja t ∈ [0,2 π ] értékkel adja

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{wz}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\ pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^{k+1}}dw.

Itt minden integrandus folytonos az S körön ( z , r ), ami indokolja a differenciálást az integráljel alatt . Konkrétan, ha f egyszer komplex differenciálható egy nyitott U halmazon , akkor valójában végtelen számú komplex differenciálható U -n. Megvan a Cauchy-becslés [6]

|f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|wz|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|wc|=r}|f(w)|

bármely z ∈ U és r > 0 esetén úgy, hogy B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Ezek a becslések arra utalnak, hogy az összetett Taylor-sorozat

f(z) \approx \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(zc)^k

f függvény egyenletesen konvergál tetszőleges B ( c , r ) ⊂ U és S ( c , r ) ⊂ U valamelyik T f függvényében . Ezenkívül az f ( k ) ( c ) derivált kontúrintegrációs képletét használva,

\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(zc)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{ (wc)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc} \sum_{k=0}^\infty \Big (\frac{zc}{wc}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc}\Big( \ frac{1}{1-\frac{zc}{wc}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wz} dw = f (z), \end{igazítás}

így bármilyen komplex differenciálható f függvény egy nyitott U ⊂ C halmazon komplex analitikus . Mindaz, amit fentebb a valós analitikus függvényekre írtunk, igaz az összetett analitikus függvényekre is, ahol az I nyitott intervallumot egy nyitott U ∈ C részhalmaz helyettesíti, az a - középpontú intervallumokat ( a - r , a + r ) pedig c - középpontos körök B ( c , r ). Különösen a Taylor-bővítést őrizzük meg

f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}( zc)^k,

ahol az R k maradék tag komplex analitikus. Ha a Taylor-sorozatot vesszük figyelembe, a komplex elemzés módszerei valamivel erőteljesebb eredmények elérését teszik lehetővé. Például, ha egy integrál képletet használunk bármely pozitívan orientált γ Jordan-görbére , amely paraméterezi a W ⊂ U tartomány ∂ W ⊂ U határát , megkaphatjuk az f ( j ) ( c ) deriváltjainak kifejezését, amint az fent látható, és enyhén változtassuk meg a T f ( z ) = f ( z ) számításait, kapjuk meg a pontos képletet

R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(zc)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(wc)^{ j+1}}dw = \frac{(zc)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(wc)^{k+1}( wz)} , \qquad z\in W.

Itt egy fontos jellemző, hogy a Taylor-polinom közelítés minőségét a W ⊂ U tartományban az f függvény értékei dominálják a ∂ W ⊂ U határon . Ezenkívül a Cauchy-becsléseket a sorozat hátralévő részének kifejezésére alkalmazva egységes becsléseket kapunk

|R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |zc|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|zc| ^{k+1}}{1-\frac{|zc|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|zc |}{r}\leq \beta < 1.

Példa

f : egyenlettel definiált R → R függvény

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

valódi analitikus , vagyis az adott tartományban a Taylor-sor határozza meg. Az egyik fenti ábra azt mutatja, hogy néhány nagyon egyszerű függvény nem fejezhető ki Taylor-közelítéssel a közelítés középpontjának közelében, ha ez a környék túl nagy. Ez a tulajdonság komplex elemzés keretében könnyen megérthető. Pontosabban, az f függvény meromorf függvénysé bővül

f:\mathbb C\cup\{\infty\} \to \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}

a tömörített komplex síkon. Egyszerű tengelyei vannak a z = i és z = − i pontokban , és mindenhol analitikus. A z 0 középpontú Taylor sorozata bármely B ( z 0 , r ) körhöz konvergál , ahol r <| zz 0 |, ahol ugyanaz a Taylor-sor konvergál z ∈ C esetén . Ennek eredményeként az f függvény 0 középpontú Taylor-sora B - hez (0,1) konvergál, és nem konvergál egyetlen z ∈ C esetén sem | z |>1 tengelyek jelenléte miatt az i és -i pontokban . Ugyanebből az okból kifolyólag az f függvény Taylor-sora, amelynek középpontja 1, B - hez (1,√2) konvergál, és nem konvergál egyetlen z ∈ C esetén sem | z -1|>√2.

Taylor-tétel általánosításai

A differenciálhatóság magasabb rendje

Egy f : R n → R függvény akkor és csak akkor differenciálható egy a ∈ R n pontban , ha létezik L : R n → R lineáris forma és h : R n → R függvény , hogy

f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol {a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0.

Ha ez az eset teljesül, akkor L = df ( a ) az f függvény differenciálja az a pontban . Ezenkívül, ha az f függvény parciális deriváltjai az a pontban léteznek , akkor az f differenciálját az a pontban a képlet adja meg.

df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n.

Bemutatjuk a többindexet , írjuk

|\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

α ∈ N n és x ∈ R n esetén . Ha egy f : R n → R k -edrendű parciális deriváltja folytonos a ∈ R n pontban , akkor Clairaut tétele alapján meg lehet változtatni a vegyes deriváltok sorrendjét egy a pontban , majd felírva .

D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n)), \qquad |\alpha|\leq k

magasabb rendű részleges származékok esetében ebben a helyzetben jogos. Ugyanez igaz, ha az f függvény összes ( k − 1)-edrendű parciális deriváltja az a pont valamelyik szomszédságában létezik, és az a pontban differenciálható . Ekkor azt mondhatjuk, hogy az f függvény k -szor differenciálható az a pontban .

Taylor tétele több változós függvényekre

Ha egy f : R n → R függvény k + 1-szer folytonosan differenciálható egy zárt B gömbben , akkor pontos képletet kaphatunk f ( k + 1)-edrendű Taylor-kiterjesztésének maradékára ezen a környéken. Ugyanis

f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\ félkövér szimbólum{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big( \boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt.

Ebben az esetben a ( k + 1)-edrendű parciális deriváltok folytonossága miatt a B kompakt halmazon közvetlenül kapjuk

\big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{ y})|, \qquad \boldsymbol{x}\in B.

Bizonyíték

Taylor tételének bizonyítása egy valós változóra

Legyen [7]

h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases}

ahol a Taylor-tétel megfogalmazása szerint

P(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k.

Ezt elég megmutatni

\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.

A bizonyíték a L'Hospital szabályának ismételt alkalmazásán alapul . Figyeljük meg, hogy mindegyik j = 0,1,…, k −1 , . Ezért a függvény számlálójának minden további deriváltja nullára hajlik a pontban , és ugyanez igaz a nevezőre is. Akkor $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ $h_k(x)$ $x=a$

\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d }{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(xa)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d ^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}( xa)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1) }(x)}{xa}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{igazítás }

ahol az utolsó előtti kifejezésről az utolsóra való átmenet az x = a pont szerinti derivált definíciójából következik .

Jegyzetek

↑ Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Taylor-képlet , Mathematics Encyclopedia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Klein, 1998 , 20.3. Apostol, 1967 , 7.7.
↑ Apostol, 1967 , 7.7.
↑ Apostol, 1967 , 7.5.
↑ Apostol, 1967 , 7.6
↑ Rudin, 1987, 10.26.
↑ Stromberg, 1981

Források

Apostol, Tom (1967), Calculus , Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
Bartle és Sherbert (2000), Introduction to Real Analysis (3. kiadás), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, 1. kötet , Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
Klein, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach , Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis , Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
Rudin, Walter (1987), Valós és komplex elemzés, 3. kiadás. , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-054234-1 .

Linkek

Taylor-sorozat A koszinusz közelítése a vágásnál
Trigonometrikus Taylor Expansion interaktív bemutató kisalkalmazás
A Taylor sorozat újralátogatása a Holistic Numerical Methods Institute -ban