Cauchy integrál képlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Cauchy-féle integrálképlet egy komplex változó holomorf függvényeinek relációja, amely egy függvény értékét egy pontban a pontot körülvevő kontúron lévő értékeivel hozza kapcsolatba.

Ez a képlet a komplex elemzés egyik legfontosabb jellemzőjét fejezi ki : a régió bármely pontján az értéket meg lehet határozni a határértékek ismeretében.

Megfogalmazás

Legyen egy tartomány a komplex síkon , darabonként sima határvonallal , legyen a függvény holomorf - ben , és legyen a tartományon belüli pont . Ekkor a következő Cauchy-képlet érvényes: $D$ $\Gamma=\részleges D$ $F z)$ $\overline {D}$ $z_{0}$ $D$

f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz.

A képlet akkor is érvényes, ha feltételezzük, hogy belül holomorf , a lezáráson pedig folytonos, illetve akkor is, ha a határ nem darabonként sima, hanem csak egyenirányítható . $F z)$ $D$ $D$

Bizonyítás

Tekintsünk egy kellően kis sugarú kört, amelynek középpontja a pontban van . $S_{\rho }$ $\rho$ $z_{0}$

A körvonalak által határolt területen (azaz a terület pontjaiból álló területen , kivéve a benne lévő pontokat ) az integrandusnak nincs szingularitása, és a Cauchy-integráltétel szerint annak integrálja e terület határa fölött. egyenlő nullával. Ez azt jelenti, hogy attól függetlenül megvan az egyenlőség $\Gamma$ $S_{\rho }$ $D$ $S_{\rho }$ $\rho$

\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac { f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.

Az integrálok kiszámításához a paraméterezést alkalmazzuk . $S_{\rho }$ $z=z_{0}+\rho e^{i\varphi },\ \varphi \in [0;\;2\pi ]$

Először külön bizonyítjuk a Cauchy-képletet az esetre : $f(z)=1$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\ varphi }\,d\varphi =1.

Használjuk az általános eset bizonyítására:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz- f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}} }\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz.

Mivel a függvény komplexen differenciálható a pontban , akkor $F z)$ $z_{0}$

{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).

Az integrál egyenlő nullával: $f'(z_{0})$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.

A tag integrálja tetszőlegesen kicsinyre tehető -re . De mivel egyáltalán nem függ ettől, ez azt jelenti, hogy egyenlő nullával. Ennek eredményeként ezt kapjuk $o(1)$ $\rho \to 0$ $\rho$

{\frac {1}{2\pi i))\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0))}\,dz-f(z_ {0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz=0.

Következmények

A Cauchy-képletnek sokféle következménye van. Ez minden összetett elemzés kulcstétele. Íme néhány következménye:

Holomorf függvények elemzése

Annak a régiónak a közelében, ahol a függvény holomorf, egybeesik egy hatványsor összegével : $z_{0}$ $F z)$

f(z)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}

továbbá a konvergencia sugara nem kisebb, mint annak a körnek a sugara, amelynek középpontja abban a pontban van, ahol a függvény holomorf, és az együtthatók integrálképletekkel számíthatók ki: $z_{0}$ $F z)$ $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\ ,dz

Ezek a képletek magukban foglalják a Cauchy-féle egyenlőtlenségeket a korongban lévő holomorf függvények együtthatóira : $c_n$ ${|z-z_{0}|<r}$

c_{n}\leqslant r^{-n}M(r)

ahol a függvény maximális modulusa a körön , és ezek közül Liouville tétele korlátos teljes analitikus függvényekre : ha egy függvény holomorf a teljes komplex síkban és korlátos, akkor konstans. $Úr)$ $F z)$ ${|z-z_{0}|=r}$

Ezen túlmenően az együtthatók képleteinek kombinálásával a nullától eltérő konvergenciasugarú hatványsor összegének holomorfiájáról szóló tétellel és a hatványsor együtthatóit összegének deriváltjaival kifejező képlettel.

c_{n}={{f^{{(n)}}(z_{0})} \n felett!}

a függvény deriváltjainak integrál reprezentációját kapjuk : $F z)$

f^{{(n)}}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\,dz.

A Cauchy-egyenlőtlenségekhez hasonló derivált becslések egy tételt adnak egy holomorf függvénycsalád ekvikontinuitására egy korlátos tartományban , ha ez a család egyenletesen korlátos -ben . Az Arzela-Ascoli tétellel kombinálva megkapjuk a Montel-féle kompakt függvénycsalád-tételt : bármely olyan egyenletesen korlátos függvénycsaládból, amely egy korlátos tartományban holomorf, kiválasztható egy olyan függvénysorozat, amely egyenletesen konvergál valamely holomorf függvényhez. $D$ $D$ $D$ $D$

Holomorf függvények ábrázolása Laurent-sorozattal gyűrűs tartományokban

Ha egy függvény holomorf a forma tartományában, akkor abban egy Laurent-sorozat összegével ábrázolható : $F z)$ $D$ $\{r<|z-z_{0}|<R\}$

f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},

továbbá az együtthatók integrálható képletekkel számíthatók ki: $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\, dz,

és maga a Laurent sorozat minden egyes kompakt készleten egységesen konvergál egy függvénybe . $D$ $F z)$ $D$

Az együttható képletét gyakran alkalmazzák egy függvény integráljának kiszámítására különböző körvonalakon algebrai módszerek és maradékelmélet segítségével . $c_{{-1}}$ $F z)$

A holomorf függvények izolált szinguláris pontjainak osztályozása szintén Laurent-sorok alapján történik .

Átlagérték tételek holomorf függvényekhez

Ha a függvény holomorf a körben , akkor mindegyikre $F z)$ $\{|z-z_{0}|<R\}$ $r\,(0<r<R)$

f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\, d\varphi ,

és azt is, ha egy sugarú kör középpontja , akkor $B_{r}$ $r$ $z_{0}$

f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy.

Az átlagérték tételekből a holomorf függvényekre a maximális modulus elve következik : ha egy függvény egy tartományban holomorf, és modulusán belül van lokális maximuma , akkor ez a függvény konstans. $F z)$ $D$ $D$

A modulus maximumelve egy holomorf függvény valós és imaginárius részének maximális elvét jelenti: ha egy függvény egy tartományban holomorf, és a valós vagy képzetes részén belül van lokális maximuma vagy minimuma, akkor ez a függvény konstans. $F z)$ $D$ $D$

Egyediségi tételek

A maximális modulus elvéből és a holomorf függvények hatványsoronkénti ábrázolhatóságából további három fontos eredmény következik:

Schwarz-lemma : ha egy függvény holomorf egy körben , és ennek a körnek minden pontjára , akkor ebben a körben mindenhol holomorf ; $F z)$ ${|z|<1}$ $f(0)=0$ $z$ $|f(z)|\leqslant 1$ $|f(z)|\leqslant |z|$
egyediségi tétel hatványsorokhoz : azok a holomorf függvények, amelyeknek egy pontban ugyanaz a Taylor -soruk van, egybeesnek az adott pont valamely szomszédságában; $z_{0}$
nulltétel holomorf függvényre : ha egy tartományban holomorf függvény nulláinak határpontja van belül , akkor a függvény mindenhol eltűnik a tartományban . $F z)$ $D$ $D$ $F z)$ $D$

Linkek

Weisstein, Eric W. Cauchy Integral Formula a Wolfram MathWorldnél .
Cauchy Integral Formula Module, John H. Mathews

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe: Kézikönyv a felsőoktatás számára. - M. - L .: Állami Könyvkiadó, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.