Konvergencia köre

Egy hatványsorozat konvergenciaköre [1] az alak köre $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

D=\{z: |z-z_0| <R\}

. _

z\in\mathbb C

amelyben a sorozat abszolút konvergál , és azon kívül, at , eltér . Más szóval, egy hatványsor konvergenciaköre a sorozat konvergenciapontjainak halmazának belseje . A konvergenciakör üres halmazzá fajulhat, ha , és egybeeshet a változó teljes síkjával, ha . $|z-z_0|>R$ $R=0$ $z$ $R = \infty$

Konvergencia sugár

A konvergencia kör sugarát a sorozat konvergencia sugarának [1] nevezzük .

Egy analitikus függvény Taylor-sorának konvergencia sugara megegyezik a sorozat középpontja és a függvény szinguláris pontjai közötti távolsággal, és a Cauchy-Hadamard képlet segítségével számítható ki :

{1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Ez a képlet a Cauchy-tesztből származik .

Az Osztrovszkij-Hadamard tétel

Erős sorozatokhoz

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

amelynek szinte minden együtthatója egyenlő nullával, abban az értelemben, hogy a nem nulla együtthatók sorozata kielégíti $a_{k(i)}$

{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta

néhány rögzített esetén egy kör, amelynek középpontja és sugara megegyezik a konvergencia sugarával, természetes határ - az ilyen sorozat által meghatározott függvény analitikus folytatása lehetetlen a körön kívül. $\delta>0$ $z_{0}$

Irodalom

↑ 1 2 Fikhtengolt Grigorij Mihajlovics. Differenciál- és integrálszámítás tanfolyam - 2 kötet . - 8. - Moszkva: Fizmatlit, 2001-. - S. 557. - 864 p. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Lásd még

Analitikai folytatás