Liouville tétele korlátos teljes analitikai függvényekről

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Liouville tétele korlátos teljes analitikai függvényekről: ha komplex változók egész függvénye korlátos, azaz $F z)$ $z=(z_{1},\pontok ,z_{n})$

|f(z)|\leqslant M<\infty ,

vagyis egy állandó. $F z)$

Általánosítások

Az If egy teljes függvény a , és egyes esetekben $F z)$ ${\mathbb C}^{n}$ $r\in \mathbb {R}$

|f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),

azaz legfeljebb fokszámú változók polinomja .

F z)

{\megjelenítési stílus (z_{1},\pontok,z_{n})}

r

Ha valódi harmonikus függvény a teljes számtérben , $u(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$

u(x)<C(1+|x|^{r}),

vagyis egy harmonikus polinom a változókban.

u(x)

Történelem

Ezt a tételt, amely az analitikus függvények elméletének egyik alapvető tétele , először Cauchy tette közzé 1844-ben az esetre vonatkozóan . Liouville 1847 -ben előadásaiban fejtette ki , innen ered a név. $n=1$

Bizonyítás (az esethez ) ${\mathbb C}^{1}$

Legyen korlátos a komplex síkon , azaz. $F z)$

\exists M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.

A származékhoz a Cauchy-integrál képletet használjuk : $F z)$

f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z) ^{2}}}\,d\xi ,

ahol a pontot tartalmazó sugarú kör , vagy . $C_{R}$ $R$ $z$ $|\xi -z|=R$

Nekünk van

|f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{ R}}.

Ezért, mivel a Cauchy-integrál formula bármely kontúrra érvényes, van , és ezért és ezért egy állandó. A tétel bizonyítást nyert. $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$ $f'(z)=0$ $F z)$