Harmonikus funkció

A harmonikus függvény egy euklideszi térben (vagy annak nyitott részhalmazában) meghatározott és kétszer folyamatosan differenciálható valós függvény , amely kielégíti a Laplace-egyenletet : $U$ $D$

\DeltaU=0,\

ahol a Laplace-operátor , vagyis a második derivált összege az összes derékszögű x i derékszögű koordinátára ( n = dim D a térdimenzió ). $\Delta =\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$

Például a harmonikus függvény az elektrosztatikus potenciál olyan pontokon, ahol nincs töltés .

Tulajdonságok

A maximum elv

Az U függvény, amely harmonikus a tartományban , csak a határon éri el maximumát és minimumát . Így egy harmonikus függvénynek nem lehet lokális szélsőértéke egy belső pontban , kivéve a függvényben lévő állandó triviális esetét. Előfordulhat azonban, hogy a függvény definiálatlan a határon, ezért helyesebb ezt mondani $D$ $\ részleges D$ $D$ $\forall m\in D\inf _{{Q\in D}}U(Q)<U(m)<\sup _{{Q\in D}}U(Q)$

Liouville tétele

A -n definiált és fent vagy alul határolt harmonikus függvény állandó . $\mathbb {R} ^{n}$

Az átlagos tulajdonság

Ha egy függvény harmonikus egy pontban középpontban lévő golyóban , akkor az értéke a pontban megegyezik a golyó határa mentén vagy a golyó feletti átlagos értékével: $u$ $B(x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$

u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)))\int \limits _({\partial B))udS={\frac {1}{\mu (B) }}\int \limits _{{B}}udV

hol a gömb térfogata és a határának területe. $\mu (B)$ $B(x_{0})$ $\mu (\részleges B)$

Ezzel szemben minden olyan folytonos függvény, amely egy adott régióban lévő összes golyó átlagos tulajdonságával rendelkezik, harmonikus ebben a tartományban.

Differenciálhatóság

Egy tartományban harmonikus függvény végtelenül differenciálható benne.

Harnack egyenlőtlensége

Ha a függvény , amely harmonikus egy k-dimenziós sugarú golyóban, amelynek középpontja egy bizonyos ponton van, nem negatív ebben a gömbben, akkor a következő egyenlőtlenségek érvényesek az értékeire a vizsgált gömbön belüli pontokban: , ahol [1 ] . $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$ $Q_{r}$ $R$ $M_{0}$ $M$ ${{R^{{k-2}}}{{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}}U(M_{0})}\leq {U(M) )}\leq {R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1}}}}U(M_{0})}$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Harnack tétele

Legyenek pozitív harmonikus függvények valamilyen tartományban . Ha a sorozat a tartomány legalább egy pontján konvergál , akkor belül egyenletesen konvergál . $v_{n}(z)$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$ $D$

Harmonikus függvények a komplex síkon

A komplex síkon a harmonikus függvények szorosan összefüggenek a holomorf függvényekkel . Konkrétan a következő állítás érvényes: egy tetszőleges tartományra -ben, ha ez egy holomorf függvény a -n , akkor ez egy harmonikus függvény felett . $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ $D$ $\mathbb {C}$ $f$ $D$ $h=\operátornév {Re} (f)$ $D$

A fordított állítás is érvényes. Ha harmonikus függvény egy egyszerűen összekapcsolt tartomány felett , akkor egyedi, akár konstans holomorf esetén a függvény felett . $h$ $D$ $h=\operátornév {Re} (f)$ $D$ $f$

Lásd még

Jegyzetek

↑ A.F. Timan, V.N. Trofimov Bevezetés a harmonikus függvények elméletébe. Moszkva: Nauka, 1968

Irodalom

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Evgrafov M. A. Analitikai függvények. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1991. - 448 p.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1973. - 749 p.
Privalov II. Bevezetés az összetett változó függvényeinek elméletébe. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1984. - 432 p.
Sidorov Yu. V. , Fedoryuk M. V. , Shabunin M. I. Előadások egy komplex változó függvényeinek elméletéről. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1989. - 480 p.
Titchmarsh E. Függvényelmélet. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1980. - 463 p.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Egy összetett változó függvényei és néhány alkalmazása. — M.: Nauka, 1964. — 388 p.
Hayman W. , Kennedy P. Szubharmonikus függvények. — M.: Mir, 1980. — 304 p.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. 2 kötetben. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1976. - 720 p.