Belső

A halmaz belseje egy fogalom az általános topológiában , amely egy adott halmaz összes nyitott részhalmazának egyesülését jelöli . A belső pontokat belső pontoknak nevezzük .

Definíció

Adjunk meg egy topológiai teret , ahol egy tetszőleges halmaz , és az azon meghatározott topológia . Legyen adott egy részhalmaz is . $(X,{\mathcal {T}}),$ $x$ $\mathcal{T}$ $A\X részhalmaz$

Az alábbiakban a részhalmazok mint minden részhalmazának nyitottságát (például szükségszerűen önmaga részhalmazaként nyitott, de nem feltétlenül a teljes topológiai térben nyitott) vizsgáljuk, de nincs kifejezetten jelezve, a nyitottságot pedig a benne való tagságként jelöljük. . $B\A részhalmaz$ $x$ $A$ $x$ $\mathcal{T}$

Ekkor egy halmaz belseje több egyenértékű módon definiálható: $A$

A belső az összes nyitott részhalmaz egyesülése : $B\A részhalmaz$ $\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T)),\;B\subset A}B$ .
A belső rész a legnagyobb nyitott részhalmaz a befogadás alapján : $A$ $(\operátornév {int} (A)\in {\mathcal {T)))\wedge (\operátornév {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;(( B\in {\mathcal {T)))\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \operatorname {int} (A)))$ .

A belső az összes belső pont halmaza , ahol egy pontot akkor és csak akkor nevezünk belsőnek , ha van olyan nyitott halmaz , amely : $x\in A$ $B\A részhalmaz$ $x\B-ben$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\left\{x\in A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T))\right\))$ .

A definíciók egyenértékűsége abból adódik, hogy a nyílt halmazok bármely családjának uniója nyitott.

Tulajdonságok

A belső művelet egy unáris művelet az összes részhalmaz családján . $x$
A belső tér nyitott készlet . ${\megjelenítési stílus \operátornév {int} (A)}$
Egy készlet akkor és csak akkor nyitott, ha egybeesik a belsejével: $A$ $(A\in {\mathcal {T))\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)$ .
- Más szóval, egy nyitott halmazban minden pont belső, és minden halmaz, amelynek minden pontja belső, nyitott.
A belső működés idempotens : $\operátornév {int} (\operátornév {int} (A))=\operátornév {int} (A)$ .
A belső művelet megőrzi a részhalmazok részleges sorrendjét a következőkkel: $(A\Subset B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subset \operatorname {int} (B)\right)$ .
A metrikus térben a belső pont meghatározása a következő formában történik. Legyen egy metrikus tér a metrikával , és legyen annak részhalmaza. Egy pont akkor és csak akkor belső, ha létezik olyan, hogy . Más szóval, egy olyan sugárral együtt lép be , amelynek középpontja . $x$ $d$ $M$ $x\-ben M$ $M$ $\varepsilon >0$ $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$ $x$ $M$ $\varepsilon$ $x$

Példák

$\operatorname {int} (\emptyset )=\emptyset .$
Ha az euklideszi tér véges részhalmaza a standard topológiával , akkor . $A\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $\operatorname {int} (A)=\emptyset$
Ha egy valós vonal a standard topológiával, és , akkor $X={\mathbb {R}}$ $[a,b]\részhalmaz {\mathbb {R}}$ $\operatorname {int} ([a,b])=(a,b).$
Ha egy diszkrét tér , akkor bármelyikre . $x$ $A\X részhalmaz$ $\operatorname {int} (A)=A$