Topológiai tér

A topológiai tér olyan halmaz, amely egy bizonyos típusú kiegészítő szerkezettel rendelkezik (az úgynevezett topológia); a topológia vizsgálatának fő tárgya .

Történelmileg a topológiai tér fogalma a metrikus tér általánosításaként jelent meg . A topológiai terek természetesen a matematika szinte minden ágában előfordulnak. A térszerkezetű halmazról alkotott elképzelések további általánosításai közé tartozik a pszeudotopológiai tér [1] .

Definíció

Legyen adott egy halmaz . A részhalmazaiból álló rendszert topológiának nevezzük , ha a következő feltételek teljesülnek: $x$ $\mathcal{T}$ $x$

-hoz tartozó halmazok tetszőleges családjának uniója -hoz tartozik ; azaz bármely indexelési halmazhoz és családhoz , . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $A$ $U_{\alpha }\in {\mathcal {T)),\alpha \in A$ $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$
A -hoz tartozó halmazok véges családjának metszéspontja -hez tartozik ; vagyis ha , akkor . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots ,\;n)$ $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$
$X,\;\varnothing \in \mathcal{T}$ .

A párt topológiai térnek nevezzük . A hozzá tartozó halmazokat nyitott halmazoknak nevezzük . $(X,\;\mathcal{T})$ $\mathcal{T}$

Azokat a halmazokat, amelyek kiegészítik a nyitottakat, zártnak nevezzük .

Minden nyitott halmazt, amely egy adott pontot tartalmaz, szomszédságának nevezzük .

További axiómák

A topológiai terek általános osztályát meghatározó három axiómát gyakran kiegészítik bizonyos elválaszthatósági axiómák , attól függően, hogy a topológiai terek mely osztályai különböztethetők meg, például Tikhonov-terek, Hausdorff-terek , szabályos, teljesen szabályos, normálterek stb.

Ezenkívül a topológiai terek tulajdonságait erősen befolyásolja a megszámlálhatóság bizonyos axiómáinak teljesülése - az első megszámlálhatósági axióma , a második megszámlálhatósági axióma (megszámlálható topológiabázisú terek), valamint a tér elválaszthatósága . A topológia megszámlálható bázisának meglétéből következik az elválaszthatóság és a megszámlálhatóság első axiómájának teljesülése. Emellett például a megszámlálható bázisú reguláris terek normálisak, ráadásul metrizálhatók, vagyis topológiájuk valamilyen mérőszámmal megadható. A kompakt Hausdorff-terek esetében a megszámlálható topológiabázis megléte szükséges és elégséges feltétele a mérhetőségnek. A metrikus terek esetében a megszámlálható topológiabázis jelenléte és az elkülöníthetőség egyenértékű.

Példák

Az összekapcsolt kettőspont egy kétpontos topológiai tér.

A valós egyenes topológiai tér, ha például véges vagy végtelen intervallumok tetszőleges (üres, véges vagy végtelen) unióit nyílt halmazoknak nevezzük. Az összes véges nyitott intervallum halmaza ennek a topológiának az alapja . Ez a vonal szabványos topológiája. Általánosságban elmondható, hogy nagyon változatos topológiákat lehet bevezetni a valós számok halmazán, például egy egyenes vonalat „nyíl topológiával”, ahol a nyílt halmazok így néznek ki , vagy egy Zariski topológiát , amelyben bármely zárt halmaz a számok véges halmaza. pontokat. $\mathbb {R}$ $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\}$ $\R_\to$ $(a,\infty)$

Az euklideszi terek általában topológiai terek. Szabványos topológiájuk alapulhat nyitott gömbökön vagy nyitott kockákon. Tovább általánosítva, minden metrikus tér egy topológiai tér, amelynek topológiája nyitott golyókon alapul . Ilyenek például a függvényelemzésben vizsgált függvények végtelen dimenziós terei . $\mathbb {R} ^{n}$

A topológiai térből a topológiai térbe történő folyamatos leképezések halmaza egy topológiai tér a következő topológiához képest, amelyet kompakt nyitottnak nevezünk . Az előbázist olyan leképezésekből álló halmazok adják, amelyek alatt a kompakt halmaz képe egy nyitott halmazban fekszik . $C(X,\;Y)$ $x$ $Y$ $C(K,\;U)$ $K$ $x$ $U$ $Y$

Egy tetszőleges halmaz topológiai térré tehető, ha az összes részhalmazát nyitottnak hívjuk. Az ilyen topológiát diszkrétnek nevezzük . Ebben minden készlet nyitva van. Egy másik korlátozó eset, hogy a lehető legkisebb számú részhalmazt nyitottnak hívjuk , nevezetesen egy triviális topológiát vezetünk be - csak az üres halmaz és maga a tér nyitott benne . $x$ $x$ $x$

A topológia meghatározásának módjai

Topológia megadása alap vagy előbázis használatával

Nem mindig kényelmes minden nyitott halmazt felsorolni. Gyakran kényelmesebb a nyitott halmazok kisebb halmazának megadása, amely mindegyiket létrehozza. Ennek formalizálása a topológiabázis fogalma. Egy topológia részhalmazt topológiabázisnak nevezünk, ha bármely nyitott halmaz a -ból származó halmazok uniójaként van ábrázolva , azaz. $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

A topológia meghatározásának még gazdaságosabb módja annak előbázisának megadása , egy olyan halmaz, amely bázissá válik, ha elemeinek tetszőleges véges metszéspontjait adjuk hozzá. Ahhoz, hogy egy halmazrendszert a topológia előbázisává nyilváníthassunk, szükséges és elégséges, hogy lefedi a teljes halmazt . ${\mathfrak {P}}$ $x$

Az előbázisokat leggyakrabban a leképezések családján indukált topológia meghatározására használják (lásd alább). $x$

Indukált topológia

Legyen egy halmaz tetszőleges leképezése topológiai térbe . Az indukált topológia természetes módot biztosít a topológia bevezetésére : a nyitott halmazok a nyitott halmazok összes lehetséges inverz képét jelentik ; azaz nyitott, ha van olyan nyitott , hogy . A fent leírt topológia az a minimális és egyetlen (befoglalással) topológia, amelyben az adott leképezés folyamatos. $f:X\Y-ig$ $x$ $Y$ $x$ $x$ $Y$ $U\ az X-ben$ $V\in Y$ $U=f^{-1}(V)$ $x$

Példa. Legyen topológiai tér, annak részhalmaza. Ha a fent leírt konstrukciót alkalmazzuk a halmazelméleti beágyazásra , akkor egy részhalmazon topológiát kapunk, amelyet általában indukált topológiának is neveznek. $x$ $A$ $i:A\–X$

Tényező topológia

Legyen topológiai tér, legyen rajta valamilyen ekvivalencia reláció is definiálva , ebben az esetben természetes módja van a topológia meghatározásának a faktorhalmazon . Egy faktor részhalmazt akkor és csak akkor nyilvánítunk nyitottnak, ha a faktorizációs leképezés alatti előképe nyitott -ban . Könnyű ellenőrizni egyrészt, hogy ez valóban definiál-e egy topológiát, másrészt, hogy ez az a maximális és egyetlen (befoglalás által) topológia, amelyben a jelzett faktorizációs leképezés folyamatos. Az ilyen topológiát általában hányados topológiának nevezik . $x$ $\sim$ $X/{\sim }$ $x$ $X/{\sim }$

Topológia meghatározása zárt halmazokkal

Egy halmazt zártnak nevezünk, ha komplementere nyitott halmaz. A topológia definiálása zárt halmazok rendszerén azt jelenti, hogy a következő tulajdonságokkal rendelkező részhalmazok rendszerét kell bemutatni: $F\X részhalmaz$ $U = X \setminus F$ $x$ ${\mathcal {P}}$ $x$

A rendszer zárt halmazok metszéspontja alatt (beleértve a végtelen családokat): ${\mathcal {P}}$ $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
A rendszer a halmazok uniójának működése szempontjából zárt (véges mennyiségben): ${\mathcal {P}}$ $F_1,\;F_2\in \mathcal{P} \Jobbra F_1\cup F_2\in \mathcal{P}$
A készleteket a rendszer tartalmazza . $X,\;\varnothing$ ${\mathcal {P}}$

Ha ilyen tulajdonságokkal rendelkező halmazrendszert adunk meg, akkor a komplementművelet egy nyílt halmazrendszer felépítésére szolgál, amely a topológiát határozza meg a -n . $\mathcal{T}$ $x$

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.

Az algebrai geometriában topológiát alkalmaznak egy - egységű kommutatív gyűrű spektrumára (az összes prímideál rendszerére) . Az on topológiát zárt halmazok rendszerével vezetjük be: legyen a gyűrű tetszőleges ideálja (nem feltétlenül egyszerű), akkor megfelel a halmaznak $B$ $X = \mathrm{Spec}\, B$ $x$ $\mathfrak{a}$ $B$

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.

Minden ilyen halmaz olyan halmazrendszert alkot, amely kielégíti a felsorolt axiómákat, hiszen

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha} \right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.

A Zariski topológiát a térben szintén zárt halmazok rendszerével határozzuk meg. A Zariski topológiában a zárt halmazok mind olyan halmazok, amelyek egy véges polinomrendszer közös nulláinak halmazai. Egy zárt halmazrendszer axiómáinak teljesülése abból következik , hogy a polinomok gyűrűje Noether -féle , és abból, hogy egy tetszőleges polinomrendszer közös nullái egybeesnek az általuk alkotott ideál közös nulláival. $X=\mathbf{C}^n$ $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$

A tér természetesen beágyazott a polinomgyűrű spektrumába (egybeesik az összes zárt pont halmazával), és a Zariski topológia nem esik egybe a tértopológia által indukálttal . $X = \mathbf{C}^n$ $Y = \mathrm{Spec}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ $x$ $Y$

Folyamatos megjelenítések

A topológia fogalma a minimum szükséges ahhoz, hogy folyamatos leképezésekről beszéljünk . Intuitív módon a folytonosság a folytonossági hiányok hiánya, vagyis a folyamatos leképezésben a közeli pontoknak közeli pontokba kell kerülniük. Kiderült, hogy a pontok közelsége fogalmának meghatározásához eltekinthetünk a távolság fogalmától. Pontosan ez a folyamatos térkép topológiai meghatározása.

A topológiai terek térképét folytonosnak mondjuk , ha minden nyitott halmaz inverz képe nyitott. $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\to(Y,\;\mathcal{T}_Y)$

A topológiai terek kategóriája objektumként tartalmazza az összes topológiai teret, míg a morfizmusok folyamatos leképezéseket tartalmaznak. Az ebbe a kategóriába tartozó objektumok algebrai invariánsok segítségével történő osztályozására tett kísérletek a matematika tudományának egy algebrai topológiának nevezett szakaszát szentelik . Az általános topológia a folytonosság fogalmának, valamint más fogalmak, mint például a tömörség vagy az elválaszthatóság tanulmányozásának szentelt, más eszközök igénybevétele nélkül . Az objektumon további struktúrákként lehet például egy köteg halmaz a -n vagy egy affin vonal a -n , azaz . Jelölje a szóközök kategóriáját egy további szerkezettel . Feledékeny functor - Descartes-kötegek. Az objektumokat szerkezettel rendelkező tereknek nevezzük. A fenti rétegobjektumot a fenti struktúrának nevezzük . $\mathrm{Felső}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ $x$ $x$ $\mathbb {A} _{X}\to X$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}^{E}$ ${\mathcal {T}}^{E}\ to {\mathcal {T}}$ $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}^{E}\ to {\mathcal {T}}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}^{E}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$

Funkcionális szerkezet

Hochschild szerint a on funkcionális struktúra egy olyan leképezés , amely minden nyitott halmazhoz hozzárendeli a folytonos valós értékű függvények algebrájának algebráját . Ez a leképezés egy algebrák kötege , a folytonos valós értékű függvények csíráiból álló részlánc , amely egy állandó köteget tartalmaz. Ez a következő feltételekből következik : $x$ ${\mathcal {F}}_{X}$ $U\X részhalmaz$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $U$ $x$ ${\mathcal {F}}_{X}$

ha nyitott halmazok tetszőleges uniója, akkor a leképezés akkor tartozik , ha az egyes nyitott halmazokra vonatkozó megszorítás a -hoz tartozik ; $U=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }$ $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $f$ ${\displaystyle U_{\alpha ))$ ${\mathcal {F}}_{X}(U_{\alpha })$
${\mathcal {F}}_{X}(U)$ tartalmazza a függvény összes állandóját; $U$
ha , akkor a korlátozás a következőben található . $V\alhalmaz U$ $f\in {\mathcal {F}}_{X}(U)$ $V$ ${\mathcal {F}}_{X}(V)$

Például egy -sokaság határral egy parakompakt Hausdorff tér, amely funkcionális szerkezettel rendelkezik , lokálisan izomorf a térrel . A határ azokból a pontokból áll, amelyek a hipersík pontjaira vannak leképezve, ami egy sima -dimenziós sokaság az indukált szerkezettel. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(M,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} _{+}^{n},C^{\infty })$ $(n-1)$

Szférák homotópiás csoportjai

A gömbök homotópiás csoportjai alapvető topológiai invariánsok, amelyek megértése a topológiai terek általánosabb megértéséhez, valamint szerkezetükben nagyszámú összetett mintázat jelenlétéhez vezet.

Lásd még

Az általános topológia szószedete

Jegyzetek

↑ Frölicher, 1970 , p. 21.

Irodalom

Aleksandrov, PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Általános topológia. - M .: Nauka, 1968.
Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Frölicher, A., Bucher W. Differenciálszámítás norma nélküli vektorterekben. - M .: Mir, 1970.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Elemi topológia.
Vasziljev V. A. Bevezetés a topológiába. - M . : Fazis, 1997.