Zariski topológia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. november 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Zariski topológia vagy a Zariski topológia egy speciális topológia , amely az algebrai változatok algebrai természetét tükrözi . Oskar Zariskiről nevezték el , és az 1950-es évek óta az algebrai geometria fontos alakja .

Klasszikus definíció

A klasszikus algebrai geometriában (azaz az 1950-es és 1960-as évek végén lezajlott úgynevezett "Grothendieck-forradalom" előtt) a topológiát a következőképpen határozták meg. Mivel magának a tárgynak két ága volt, amelyek az affin és a projektív sokaságokkal foglalkoztak, a Zariski topológiát némileg eltérően határozták meg minden típusú sokaság esetében. Feltételezzük továbbá, hogy egy rögzített algebrai zárt K mezőn dolgozunk , amely alatt a klasszikus algebrai geometriában szinte mindig komplex számokat értünk .

Affin fajták

A Zariski topológia egy K mező feletti affin téren egy olyan topológiastruktúra , amelynek zárt részhalmazai pontosan az adott tér algebrai halmazai. Az algebrai halmazok az alak halmazai $\mathbb {A} ^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid \forall f\in S:\;f(x)=0\},

ahol S a polinomok tetszőleges halmaza n változóban a K mező felett . A következő személyazonosságok könnyen ellenőrizhetők:

$V(\varnothing )=\mathbb {A} ^{n},V(1)=\varnothing ;$
$V(S)=V((S))$ , ahol az ideális az elemek által generált polinomgyűrűben $(S)$ $S;$
Bármely két I és J ideál esetén

V(I)\cup V(J)=V(IJ)

;

V(I)\cap V(J)=V(I+J)

Mivel a mező feletti polinomgyűrű Noether-féle, az alakhalmazok végtelen családjának metszéspontja egyenlő lesz véges alcsaládjának metszéspontjával, és a formája lesz . Mivel az algebrai halmazok véges uniói és tetszőleges metszéspontjai, valamint az üres halmaz is algebrai, ezért az algebrai halmazok valóban valamilyen topológia zárt halmazai (ekvivalens komplementereik, amelyet jelölünk , nyílt topológiahalmazok). $V(I)$ $V(I)$ $\mathbb {A} ^{n}$ $D(S)$

Ha egy affin tér affin algebrai részhalmaza , akkor a rajta lévő Zariski topológia az indukált topológia . $M$ $\mathbb {A} ^{n}$

Projektív fajták

A projektív tér elemei az elemek ekvivalenciaosztályai a K -ből származó skalárral való szorzás arányossága tekintetében . Következésképpen a polinomgyűrű elemei nem függvények , mivel egy pontnak sok ekvivalens reprezentációja van, amelyek a polinom különböző értékeinek felelnek meg. A homogén polinomok esetében azonban a nullával való egyenlőség feltétele egy adott pontban jól meghatározott, mivel a skalárral való szorzás "átsöpör" a polinom alkalmazásán. Ezért, ha S homogén polinomok halmaza, a definíciónak van értelme ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ ${\mathbb {P}}^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Hasonló módon igazolható, hogy ez a halmazcsalád valamilyen topológiájú zárt halmazok családja, csak az "ideális" szót " homogén ideál "-ra kell cserélni. Egy tetszőleges projektív részsokaság topológiáját indukált topológiaként határozzuk meg.

Tulajdonságok

A Zariski topológia hasznos tulajdonsága, hogy ennek a topológiának egy meglehetősen egyszerű bázisa van . Ugyanis a topológia alapját a D ( f ) alakú nyílt halmazok képezik, amelyek az f polinom (illetve projektív változatoknál az f homogén polinom) nullahalmazának a komplementerei .

Minden affin vagy projektív fajta kompakt ; az elosztó bármely nyitott részhalmaza is kompakt. Ezenkívül bármely algebrai változat egy Noether-féle topológiai tér .

Másrészt egy algebrai változat nem Hausdorff-tér (ha K nem véges mező ). Mivel egy algebrai változat bármely pontja zárt, kielégíti a T 1 elválasztási axiómát .

Modern definíció

Topológia egy gyűrű spektrumán

A modern meghatározás a gyűrű spektrumának fogalmán alapul . Adjunk meg valamilyen kommutatív gyűrűt az identitással. A gyűrű spektruma az összes elsődleges ideál halmaza , és ezek az ideálok maguk a spektrum pontjai. A Zariski topológiát a következőképpen vezetjük be: a spektrum zárt halmazai az összes egyszerű ideál halmazai, amelyek tartalmaznak valamilyen halmazt , vagy ami megegyezik, az e halmaz által generált ideált : $A$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ $E$ $én$

{\displaystyle V(I)=\{P\in \mathrm {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\))

Könnyen ellenőrizhető az összes axióma. Például az a tény, hogy két zárt halmaz egyesülése szorosan következik a nyilvánvaló zárványok láncolatából:

V(a\cap b)\subseteq V(ab)\subseteq V(a)\cup V(b)\subseteq V(a\cap b)

, tehát .

V(a)\cup V(b)=V(a\cap b)

A spektrum Zariski topológiája a következő módon kapcsolódik a korábban bevezetett affin tér topológiájához. Definiáljunk egy olyan leképezést , amely egy pontot egy nullával egyenlő polinomokból álló maximális ideálhoz társít ebben a pontban (ez maximális, mivel a hányadosgyűrű általa egy K mező ). Nyilvánvaló, hogy a különböző ideálok különböző pontoknak felelnek meg. Ezenkívül a Hilbert-féle Nulls-tétel kimondja, hogy a polinomgyûrû összes maximális ideálja ilyen alakú, azaz a leképezés bijektív . Sőt, ez a leképezés egy homeomorfizmus a maximális ideáloknak megfelelő részhalmazra ( az indukált Zariski topológiájú gyűrű maximális ideáljainak halmazát maximális spektrumnak nevezzük, és általában -vel jelöljük ). Elegendő annak bizonyítása, hogy ez a leképezés bijekciót indukál a zárt részhalmazai és zárt részhalmazai között , de ez szinte nyilvánvaló: az ideálist tartalmazó maximális ideálok pontosan a -ben lévő összes polinom közös nullái . $\mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $p$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $x\mapsto {\mathfrak {m}}_{x}$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $A$ $\mathrm {spec} \,A$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\bigotimes \mathrm {spec} \,K[x_{n},n\in [1,\left\ vert \infty \right\vert ]]$ $(S)$ $S$

Így Grothendieck újítása az volt, hogy nemcsak a gyűrű maximális ideáljait vette figyelembe, hanem minden elsőrendű ideált. Egy algebrailag zárt mező feletti polinomgyűrű esetén ez azt jelenti, hogy bizonyos számú " közös pont " hozzáadódik a térhez (egy pont minden irreducibilis affin alváltozathoz ). Általános esetben (vagyis ha figyelembe vesszük az összes lehetséges kommutatív gyűrűt) ez funkcionális tulajdonságokkal ruház fel: minden gyűrű homomorfizmushoz egy folytonos térkép tartozik . Egy egyszerű spektrum esetében ennek a homomorfizmusnak a konstrukciója triviális - egy egyszerű ideál inverz képe készül, a maximálisnál ez nem működik, mivel a maximális ideál inverz képe nem feltétlenül maximum. $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec}$ $A-tól B-ig$ $\mathrm {Spec} \,B\to \mathrm {Spec} \,A$

Ahogy a spektrum felépítése felváltotta a hagyományos Zariski topológiát az affin sokaságokon, a Proj konstrukció a modern algebrai geometriában felváltja a projektív sokaságokon a topológia figyelembevételét.

Példák

A k mező spektruma egy elemű topológiai tér.
A spektrum minden prímszámhoz tartalmaz egy pontot , valamint egy "közös pontot" (egy olyan pontot, amelynek bezárása egybeesik a teljes térrel), amely megfelel a nullideálnak. A Zariski topológiában ezen a spektrumon lévő zárt halmazok a prímek halmazának véges részhalmazai, valamint a teljes spektrum. $\mathbb {Z}$
A polinomiális gyűrű spektruma algebrailag zárt K mező felett egy affin egyenes a K mező felett . Valójában K [ x ] a főideálok tartománya , tehát a benne lévő prímideálok irreducibilis polinomoknak felelnek meg , és mivel K egy algebrailag zárt mező, minden irreducibilis polinom alakja ; a spektrum a nulla ideálnak megfelelő "közös pontot" is tartalmaz. A K [ x ] Zariski topológiájában a zárt halmazok véges halmazok (nem tartalmaznak közös pontot), valamint a teljes tér. $\mathbb {A} ^{1}$ $xa$
Ha K nem algebrailag zárt, a helyzet bonyolultabbá válik. Például a spektrum formájú pontokat, olyan pontokat , amelyek , és egy közös pontot tartalmaznak. Ha minden ilyen típusú polinomot hozzárendelünk a komplex gyökéhez, akkor a spektrum egy felső félsíkként ábrázolható (komplex számok nem negatív képzeletbeli résszel). ${\mathbb R}[x]$ $(xa)$ ${\megjelenítési stílus (x^{2}+bx+c)}$ $b^{2}-4c<0$ ${\mathbb R}[x]$
A spektrum zárt részhalmaza egy másik gyűrű spektruma. Ezt bizonyítja a hányadosgyûrû felépítése – az elsõideálok egy az egyben megfelelnek az ideált tartalmazó prímideáloknak . Például egy gyűrű spektruma a (2) és (5) pontokból áll. $A/I$ $A$ $én$ $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$

A Zariski topológia tulajdonságai a spektrumon

A spektrum topológiája és a sokaságon lévő Zariski topológia közötti legkomolyabb különbség az, hogy az új topológiában nincs minden pont zárva. Úgynevezett. "általános pontok", amelyek zártsága szigorúan nagyobb, mint önmagukban (sőt, a tér irreducibilis összetevői és az "általános" pontok között egy-egy megfelelés van, amelyek lezárásai ezek az összetevők). A gyűrű maximális ideáljának megfelelő pontok zárva maradnak. Így a spektrum topológiája már nem elégíti ki a T 1 axiómát , de továbbra is kielégíti a T 0 axiómát . Valójában két elsődleges ideál közül legalább az egyik nem tartalmazza a másikat, például . Ekkor tartalmaz , de természetesen nem tartalmaz (emlékezzünk vissza, ez egy nyitott halmaz, amely olyan ideálokból áll, amelyek nem tartalmazzák az ideálist ). $\mathfrak p$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}\nsubseteq {\mathfrak {q}}$ $D({\mathfrak {p)))$ ${\mathfrak {q}}$ $\mathfrak p$ $D({\mathfrak {p)))$ $\mathfrak p$

A klasszikus algebrai geometriához hasonlóan a spektrum egy kompakt tér. Ez a tény nem egyezik jól megérzésünkkel: nem várjuk el, hogy egy teljes affin tér (például az euklideszi tér ) kompakt legyen. Grothendieck bevezette az etale topológia fogalmát is , amely sokkal elvontabb, de ennek a topológiának a tulajdonságai jobban emlékeztetnek az euklideszi tér standard topológiájának tulajdonságaira.

Lásd még

a gyűrű spektruma

Irodalom

Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - M .: Mir, 1972.
Mumford , Fajták és Sémák Vörös Könyve - M .: MTsNMO, 2007.
Shafarevich I. R. Az algebrai geometria alapjai. - M .: Nauka, 1972.
Hartshorne R. Algebrai geometria. - M .: Mir, 1981.