A fő ideálok birodalma

A főideálok területe az integritás tartománya , amelyben minden ideál elv . Általánosabb fogalom a főideálok gyűrűje , amelytől nem szükséges az integritás (egyes szerzők azonban, például Bourbaki , a főideálok gyűrűjét integrálgyűrűként említik).

A főideálgyűrű elemei bizonyos szempontból olyanok, mint a számok : bármely elemre egyedi prímtényezős, bármely két elemre van egy legnagyobb közös osztó .

A fő ideális tartományok a következő zárványláncon jelölhetők meg:

Kommutatív gyűrűk ⊃ Integritási tartományok ⊃ Faktoriális gyűrűk ⊃ Fő ideális tartományok ⊃ Euklideszi gyűrűk ⊃ Mezők

Sőt, a főideálok minden területe Noether- és Dedekind - gyűrű.

Példák

Egész számok gyűrűje $\mathbb {Z}$
A polinomok gyűrűje a k - k[x] mező felett , valamint a formális hatványsorok gyűrűje
Z [ i ] a Gauss-egész számok gyűrűje
Egész számok Eisenstein gyűrűje

Példák integrált gyűrűkre, amelyek nem fő ideális gyűrűk:

Z [ x ] egy polinom gyűrű egész együtthatókkal (az ideális (2, x) nem generálható egyetlen polinommal)
Polinomgyűrű két változóban , k[x, y] (az ideális (x, y) nem fő)

Modulok

A fő eredmény itt a következő tétel: ha R a főideálok tartománya, és M egy végesen generált modul R felett , akkor M ciklikus modulok közvetlen összegére bomlik, azaz egyetlen elem által generált modulokra. Mivel van egy szürjektív homomorfizmus R -ből egy ciklikus modulba rajta (egy egységet küld a generátornak), a homomorfizmus tétele szerint bármely ciklikus modul alakja valamilyen . $R/xR$ $x\in R$

Konkrétan egy szabad modul bármely almodulja egy fő ideális tartományon ingyenes. Ez nem igaz tetszőleges gyűrűkre, ellenpéldaként adhatunk -module beágyazást . $\mathbb {Z} [X]$ $(2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]$

Lásd még

Irodalom

Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra vols.1-2. - M: IL, 1963
Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, VV Kirichenko . Algebrák, gyűrűk és modulok . Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
Nathan Jacobson . Alapalgebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1