Fő ideál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. január 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A főideál egy elem által generált ideál .

A főideáloknak nincs általánosan elfogadott jelölése. Néha a , , jelölést egy gyűrű elemének bal-, jobb- és kétoldali főideáljára használják. $\mathrm {lid} _{R}a$ $\mathrm {rid} _{R}a$ $\mathrm {id} _{R}a$ $a$ $R$

Definíció

A gyűrű bal ideálját bal főideálnak nevezzük, ha azt egyetlen elem generálja . Az alapvető jogideálokat és a kétoldalú főideálokat hasonlóképpen határozzák meg . $R$ $a$

Ha egy kommutatív gyűrű , akkor ez a három fogalom egyenértékű. Ebben az esetben az által generált ideált jelöli . $R$ $a$ $(a)$

Egységgel rendelkező asszociatív gyűrű esetén a főideálokat a következőképpen írjuk le.

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_ {n}:r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R\}$ .

Az if egy asszociatív gyűrű (általánosságban véve egység nélkül), akkor $R$

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+ \dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n} ,r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}$ .

Nem minden ideál a fő. Tekintsünk például egy kommutatív polinomgyûrût , amelynek összetett együtthatói két változóban és . A és , polinomok által generált ideál (vagyis az olyan polinomokból álló ideál, amelyek szabad tagja nullával egyenlő) nem lesz fő. Ennek bizonyítására tegyük fel, hogy ezt az ideált valamilyen elem generálja ; akkor oszthatónak kell lennie és -vel . Ez csak akkor lehetséges, ha egy nem nulla állandó. De csak egy állandó - nulla. Ellentmondáshoz jutunk. $\mathbb {C} [x,y]$ $x$ $y$ $(x,y)$ $x$ $y$ $a\in \mathbb {C} [x,y]$ $x$ $y$ $a$ $(x,y)$

Kapcsolódó definíciók

Azt a gyűrűt, amelynek minden ideálja fő, főideálgyűrűnek nevezzük .
A főideálok integrálgyűrűjét a főideálok tartományának is nevezik . A főideálok területén érvényesül az aritmetika alaptétele (bármely elem egyedileg faktorizálható prímtényezőkké); ennek a ténynek a bizonyítása megegyezik az egész számok esetére vonatkozó bizonyítással .

Példák

Minden euklideszi gyűrű fő ideális tartomány; bennük Euklidész algoritmusával megkereshetjük egy adott ideál generáló elemét . Általában egy kommutatív gyűrű bármely két főideáljának van legnagyobb közös osztója az ideális szorzás értelmében ; ennek köszönhetően a főideálok tartományában ki lehet számítani (egy invertálható elemmel való szorzásig ) az elemek GCD -jét és az ideál generáló elemeként . $a$ $b$ $(a,b)$

Irodalom

Vinberg E.B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 példányban. — ISBN 5-88688-060-7 .