Megfordítható elem

Az invertálható elem a gyűrűnek olyan egységnyi eleme, amelyre a szorzás szempontjából inverz elem van. Egy másik név egységosztó . Szintén főként az angol nyelvű fordításokban található az egység névegység , ami összetévesztést okozhat egyetlen elemmel (az angol forrásokban két különböző kifejezést használnak: unit element és Identity element [1] ).

Más szavakkal, a gyűrű egy elemét megfordíthatónak mondjuk, ha létezik olyan elem , amely $a$ $b$

ab=ba=e,

hol van a gyűrű azonossági eleme. $e$

A gyűrű összes invertálható elemének halmaza egy multiplikatív csoportot alkot , amelyet az invertálható elemek csoportjának (ritkább esetben az egyesek csoportjának ) neveznek. Ez a csoport mindig nem üres, mivel legalább a gyűrű azonosságát tartalmazza.

Kapcsolódó elemek

Ha egy invertálható elem, akkor a mintával ábrázolható vagy az elemhez társított elemeket nevezzük . $a$ $a\cdot x$ $x\cdot a$ $x$

Általában az egységosztó kifejezést és a kapcsolódó elem fogalmát használják az integritási területekre .

Egységek csoportja

Az R gyűrű invertálható elemei szorzással alkotják az U ( R ) csoportot , az R gyűrű egységcsoportját. További gyakori szimbólumok az R × , R * és E ( R ) (a német Einheit szóból ).

Az R kommutatív gyűrűben az U ( R ) egységcsoport szorzás útján hat R - re. Ezeknek a műveleteknek a pályáit társított elemek halmazainak nevezzük ; más szóval az R -en létezik egy asszociációnak nevezett ~ ekvivalencia reláció , ahol

r ~ s

azt jelenti, hogy van olyan u egység , amelyre r = us .

Megmutatható, hogy U egy függvény a gyűrűk kategóriájától a csoportok kategóriájáig : minden f : R → S gyűrűhomomorfizmus generál egy U ( f ): U ( R ) → U ( S ) csoporthomomorfizmust, mivel f egységeket képez le. egységekre.

Az R gyűrű akkor és csak akkor gyűrű, ha U ( R ) = R \ {0}.

Példák

Az egész számok gyűrűjében két egységosztó található: +1 és -1.
A modulo m maradékok gyűrűjében az invertálható elemek olyan maradékok, amelyek együttpréselődnek a modulo m -rel . Ezek alkotják a maradékgyűrű multiplikatív csoportját .
A Gauss-egész számok gyűrűjében négy egységosztó található: . $+1,\-1,\i,\-i$
Egy mező feletti polinomgyűrűben az együtthatómező bármely nullától eltérő eleme (mint nulla fokú polinom) az egység osztója.

Jegyzetek

↑ Hasonlítsa össze az egységosztót archiválva : 2021. december 19. a Wayback Machine -nél és a Unital ringnél archiválva : 2021. december 19. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.