Triviális topológia

A triviális topológia az általános topológiában az a topológia , amely csak a teljes térből és az üres halmazból áll . Logikusabb azonban ezt a topológiát antidiszkrétnek nevezni, mivel mind a diszkrét , mind az antidiszkrét topológiák meglehetősen triviálisak a szó általános nyelvi értelmében.

Definíció

Legyen tetszőleges halmaz . Az üres halmazt jelölő részhalmazok családja a topológia . Ezt a topológiát triviális, antidiszkrét vagy ragadós pontok topológiájának nevezik . A párt triviális (egyébként antidiszkrét) topológiai térnek nevezzük . $x$ ${\mathcal {T}}=\{X,\varnothing \},$ $\varnothing$ $(X,{\mathcal {T}})$

Megjegyzés

Ha a halmaz egynél több pontot tartalmaz, akkor mindegyik topológiailag megkülönböztethetetlen, mivel egyetlen szomszédságban vannak . $x$

Tulajdonságok

Az egyetlen zárt halmaz egy antidiszkrét topológiai térben a és $x$ $\varnothing .$
Az antidiszkrét topológiának egyedi alapja van : ${\mathcal {B}}=\{X\}.$
Az antidiszkrét topológiai tér nem felel meg a legtöbb elválasztási axiómának . Különösen nem Hausdorff , ezért nem mérhető . Az antidiszkrét topológiai tér azonban kielégíti a T 3 , T 31 , T 4 axiómákat, mivel hiányoznak benne azok az objektumok, amelyeknél ellenőrizni kell az axiómák feltételeit. Éppen ezért a reguláris, teljesen szabályos és normál topológiai terek definíciói egy további elválaszthatósági axiómának is megfelelnek: a T 1 axiómának .
Az antidiszkrét topológiai tér kompakt és parakompakt .
Bármely pontsorozat a helytől konvergál ugyanabból a térből származó bármely pontba. Különösen egy antidiszkrét topológiai tér szekvenciálisan kompakt . $x$
Egy tetszőleges megfelelő részhalmaz belseje üres. $A\subsetneq X$
Egy tetszőleges nem üres részhalmaz lezárása egybeesik a -val . Különösen az antidiszkrét topológiai tér bármely részhalmaza mindenhol sűrű $A\X részhalmaz$ $x$ $x.$
Két antidiszkrét topológiai tér akkor és csak akkor homeomorf , ha azonos kardinalitású .

Lásd még

Diszkrét topológia .