Epsilon környéken

$\varepsilon$ -egy halmaz szomszédsága a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó tudományágakban olyan halmaz, amelynek minden pontja kisebb, mint . $\varepsilon$

Definíciók

Legyen egy metrikus tér , és a -szomszédság a halmaz $(X,\varrho)$ $x_0 \in X,$ $\varepsilon > 0.$ $\varepsilon$ $x_{0}$

U_{\varepsilon}(x_0) = \{ x\in X \mid \varrho(x,x_0) < \varepsilon \}.

Egy pont kilyukadt -szomszédsága az önmaga nélküli -szomszédsága: $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$

{\pont {U}}_{\varepsilon }(x_{0})=U_{\varepsilon }(x_{0})\backslash x_{0}

Legyen adott egy részhalmaz Ekkor ennek a halmaznak a -szomszédsága a halmaz $A\subsetX.$ $\varepsilon$

U_{\varepszilon}(A) = \bigcup\limits_{x \in A} U_{\varepszilon}(x).

Jegyzetek

$\varepsilon$ A pont szomszédságát tehát nyitott golyónak nevezzük, amelynek középpontja és sugara van $x_{0}$ $x_{0}$ $\varepsilon.$
A definícióból egyenesen következik, hogy

U_{\varepszilon}(A) = \{ x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y) < \varepsilon\}.

$\varepsilon$ -a szomszédság egy szomszédság , és különösen egy nyitott halmaz .

Példák

Legyen egy valódi vonal standard metrikával Akkor $\mathbb {R}$ $\varrho(x,y) = |xy|,\; x,y \in \mathbb{R}.$

$U_2(1) = (-1,3);$
$U_1([5,7]) = (4,8).$