Cauchy-féle integrál tétel

A Cauchy-féle integráltétel egy állítás egy komplex változó függvényelméletéből .

Tétel

Legyen egy tartomány , és legyen a függvény holomorf -ben és folytonos a zárásában . Ezután néhány egyszerűen összekapcsolt tartomány és bármely zárt Jordan-görbe esetén a reláció $D\subset \mathbb {C}$ $F z)$ $D$ $\overline {D}$ $A\subset {\mathbb C},$ $\Gamma \A részhalmaz$ $\oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

Bizonyítás

Bizonyítékot adunk, ha a tartomány egyszerűen össze van kötve , és a derivált folytonos. A Cauchy-Riemann egyenletekből az következik, hogy a differenciálforma zárt . Legyen most egy zárt öndiszjunkt darabonként sima kontúr a függvény tartományán belül , határoló tartományt . Akkor a Stokes-tétel alapján a következőt kapjuk: $D$ $f$ $f(z)\,dz$ $\Gamma$ $F z)$ $D$

\int \limits _{{\Gamma }}f(z)\,dz=\int \limits _{{\partial D}}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f (z)\,dz]=0

Általánosítás

A derivált folytonosságára vonatkozó további feltevések nélkül is igazolható. A bizonyítás gondolata az, hogy elegendő a differenciálforma antideriváltjának létezését megállapítani . Ehhez elegendő bebizonyítani, hogy bármely olyan téglalap integrálja, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, egyenlő nullával. $f(z)dz$

Ha ez az integrál nem nulla és egyenlő a számmal , akkor a téglalap 4 egyenlő téglalapra vágásakor (ismét a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalakkal) az integrál modulusa az egyik téglalap felett legfeljebb néggyel csökken. Vágjuk le, és folytassuk ezt a folyamatot. De a téglalapok egymásba ágyazott sorozatának kell lennie egy közös pontnak , amelynek kellően kicsi szomszédságában . $a$ $p$ $f(z)=f(p)+f'(p)(zp)+o(zp)$

De az első két tag nagyon közeli téglalapjának integrálja egyenlő nullával, és az utolsó integrálja túl kicsi. Az ellentmondás bizonyítja a tételt.

Vegyes

Cauchy tételének korlátozott megfordítása Morera tétele . A Cauchy-tétel általánosítása többdimenziós komplex tér esetére a Cauchy-Poincaré tétel .

Lásd még

Cauchy-Poincaré tétel

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka . - 1969, 577 oldal.