Morera tétele

Morera tétele a Cauchy-féle integráltétel megfordítása (nem teljes) , és az egyik alapvető tétel az összetett változó függvények elméletében . Így lehet megfogalmazni:

Ha egy komplex változó függvénye a tartományban folytonos , és annak integrálja bármely zárt egyenirányítható kontúr felett nullával egyenlő, akkor $F z)$ $z$ $D$ $\Gamma \subset D$

\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,

akkor egy analitikus függvény a -ban . $F z)$ $D$

A tétel feltétele gyengíthető, ha korlátozzuk magunkat arra a követelményre, hogy a tartományhoz tartozó bármely háromszög határán felvett integrálok eltűnjenek . $D$

A bizonyíték ötlete

A bizonyítás azon a tényen alapszik, hogy a tétel feltételeit kielégítő függvénynek antideriváltja lesz -ben , azaz létezik olyan függvény , $D$ $F z)$

{\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).

De egy egyszer komplexen differenciálható függvény analitikus, így a származéka is analitikus lesz. $f$

Alkalmazás

A Morera-tétel a fő módja annak, hogy bizonyítsuk valamilyen komplexen definiált függvény analitikusságát. Az egyik központi állítás itt az, hogy ha egy analitikus függvénysorozat egyenletesen konvergál egy függvényhez , akkor $f_n$ $f$

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0 ,

ezért Morera tétele szerint a határfüggvény is holomorf lesz. Így számos sorozattal és integrállal definiált függvény holomorfiája bizonyítást nyer, például a Riemann zéta függvény .

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))))

és az Euler-gammafüggvények

\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.

Morera tételét a szimmetria elvén alapuló függvény analitikusságának bizonyítására is használják .

Történelem

Ezt a tételt Giacinto Morera olasz matematikus szerezte meg 1886 -ban .

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka . - 1969, 577 p.

Linkek

Weisstein, Eric W. Morera tétele (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .